Série numérique

[math123]

Bonjour, voila il s'agit d'étudier la série numérique de terme général Un= et je bloque dans les cas
1/ a<=1 et b>1
2/ a<=1 et b<=1

En regardant la correction, dans le cas 1 ils ont écris n²*Un~ et en faisant tendre cette expression vers + infini ils trouvent 0. Alors déja j'ai du mal à voir comment peut on trouver "instinctivment ce n²" bien que je connaisse la règle du et ensuite je ne vois pas pourquoi cela tend vers 0.

Dans le cas 2, ils ont écrit *Un est équivalent à et que cela tend vers l'infini donc divergence grossière en fait c'est au moment ou on met l'exponentielle que je ne vois pas quelle est la fonction qui "croit" le plus vite.

Voila en espérant que vous pourrais m'aider à voir "instinctivement" le alpha pour appliquer la règle du n^(alpha) et ensuite pour voir dans une exponentielle quelle fonction croit le plus rapidement.
Merci
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[phys4]

Bonsoir,

Dans le cas 1, le correcteur prend l'équivalent pour n assez grand pour négliger a^n au numérateur. Au dénominateur c'est b^n qui est le terme prépondérant et il faut négliger les autre termes.
le facteur n^2 provient de la nécessité pour un série de tendre vers zéro aussi vite que 1/n^2 pour qu'elle converge.
L'exposant de l'exponentielle s'obtient alors en prenant le log de la fraction, ensuite il faut se rappeler que parmi les fonctions, n croit plus vite n^0.5 qui croit plus vite que ln(n). le terme - n*ln(b) est donc prépondérant.

Dans le cas 2, les termes en a et b sont négligés et la racine devient le terme prépondérant.

Merci d'avoir donné une partie de la correction.