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Inclusions des espaces de Lebesgue

  1. mb019

    Date d'inscription
    novembre 2006
    Localisation
    Paris
    Âge
    23
    Messages
    128

    Inclusions des espaces de Lebesgue

    Bonjour à tous, Voilà je révise mes cours sur les espaces de Lebesgue. Et voici un énoncé non démontré dans mon cours.

    Etant donnée un espace mesuré tel que alors les espaces sont inclus par ordre décroissant.

    Soit montrons que , soit alors on peut écrire , et car la mesure de est finie, on applique l'inégalité de Hölder, et comme les quantités de droites sont finis , .

    Merci de me corrigé s'il y'a erreur.


     


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  2. Garf

    Date d'inscription
    juillet 2007
    Localisation
    Rennes
    Âge
    25
    Messages
    511

    Re : Inclusions des espaces de Lebesgue

    C'est essentiellement ça. Il y a juste des petites erreurs sur les exposants (attention au passage au dual !).

    On a , et , d'où, en prenant la racine -ième :



    Une remarque au passage : la terminologie est très mal faite, mais il aurait été bien mieux de paramétrer les espaces par . Si je pose , avec dans , l'inégalité de Hölder devient :



    et on dispose même de la généralisation suivante :



    inégalité qui est valable que soit finie ou -finie, et qui entraîne en particulier la propriété que tu souhaites démontrer (elle se montre de la même manière, d'ailleurs).
     


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