Un peu de topologie

[Garf]

Bonjour,

J'ai quelques petites question de topologie générale en tête. Je suis sûr que l'on pourra m'éclairer un peu...


1) Pour cette question, je rappelle qu'une partie d'une espace topologique est quasi-compacte si, de tout recouvrement de cette partie par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini (bref, la même définition que pour "compact", mais sans requérir la séparation). Toute union finie de quasi-compacts est quasi-compacte. De plus, si l'espace est séparé, alors les quasi-compacts sont compacts et toute intersection de (quasi-)compacts est (quasi-)compacte (propriété (I)). Ce n'est pas vrai en général si l'on ne suppose pas la séparation de l'espace, mais il y a cependant des espace non séparés dans lesquels la propriété (I) est vérifiée. Prenez par exemple n'importe quel espace infini muni de la topologie grossière, ou de la topologie cofinie, au choix.
Donc, voici la première question : y a-t-il une bonne caractérisation des espaces pour lesquels la propriété (I) est vérifiée ?


2) Soit un espace topologique. Supposons qu'il satisfait la propriété (I). On définit alors une topologie sur en disant que les fermé de sont l'ensemble vide, l'espace tout entier, et les compacts de . Cela revient en gros à prendre pour ouverts de les voisinages ouverts de l'infini du compactifié d'Alexandroff de , mais sans introduire ledit point à l'infini. Par exemple, si est la topologie grossière, alors est la topologie discrète, est la topologie cofinie, et est à nouveau la topologie discrète.
Seconde question : sous quelles conditions la propriété (I) est-elle héritée lors du passage de à (j'admets ne pas avoir trop réfléchi à celle-là) ?
Troisième question : sous quelles conditions est-elle bien définie et égale à ?
Question bonus : tout ceci a-t-il le moindre exercice, à part éventuellement concevoir des exercices tordus ?


3) Cette question-ci n'est pas exactement dans la lignée des précédentes, mais reste dans le domaine de la topologie générale. Soit un espace métrique. Soit l'espace des fonctions - Lipschitziennes à valeurs dans . On sait que si est strictement supérieur à et si est la métrique usuelle sur , alors ne contient que des fonctions constantes. Il me semble (il y a peut-être des hypothèses à rajouter) que cela se généralise par exemple à des espaces géodésiques, des variétés Riemanniennes connexes, etc. Cependant, le choix de la métrique est important (voir par exemple la métrique sur ), et la connexité n'est pas nécessaire (voir avec la distance usuelle). Disons qu'un espace métrisable a la propriété (J) s'il existe une métrique générant sa topologie et pour laquelle, pour tout strictement supérieur à , ne contient que des fonctions constantes. Disons de plus qu'un espace métrisable a la propriété (J') s'il existe une métrique générant sa topologie et pour laquelle, pour un certain , ne contient que des fonctions constantes.
Quatrième question : les propriété (J) et (J') sont-elles distinctes ?
Cinquième question : y a-t-il une bonne caractérisation des espaces vérifiant la propriété (J) (respectivement, (J')) ?
Question bonus : en cas de faille triviale, y a-t-il de meilleures définitions ?


Merci d'avance.
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