Matrices : changement de base

[Alomon]

Bonjour,

Je bloque sur un changement de base et j'aurais apprécié votre aide.

Nous connaissons la matrice A d'un endomorphisme f de R⁴ dans une base B (e₁, e₂, e₃, e₄). Je vous en fait grâce, je ne pense pas que ce soit nécessaire pour la compréhension du problème et de la méthode à utiliser.
Nous connaissons également les coordonnées du vecteur e₁' dans cette base B : (1, 1, 0, 0).
On définit alors les vecteurs :
e₂' = f(e₁')
e₃' = f(e₂')
e₄' = f(e₃')

J'ai montré que ces 4 vecteurs forment une base de R⁴, que nous appellerons B' (ce sont 4 vecteurs qui forment une famille libre).

On me demande alors la matrice A' de l'endomorphisme f dans la base B'.
Par l'énoncé, on a facilement les 3 premières colonnes : (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) et (0, 0, 0, 1).
Mais je n'arrive pas à trouver la 4e colonne de la matrice. J'ai dans l'idée d'exprimer f(e₄') en fonction des 4 vecteurs de B' (c'est en tout cas ce que devrait refléter cette colonne), mais je ne vois aucun moyen de le faire...

Vous me direz qu'il suffit d'exprimer les vecteurs de B' en fonction de ceux de B pour avoir la matrice de passage... MAIS... la question suivante me demande justement la matrice de passage ! Je suppose donc qu'il ne faut pas l'utiliser immédiatement. Peut-être y a-t-il un moyen encore plus simple de trouver le résultat, mais je ne le vois pas

Auriez-vous une idée ?

Merci d'avance de votre aide !

A+
-----

[Alomon]

Bonjour,

Hop, petit up En vous remerciant par avance.

Merci.

A+

[cleanmen]

salut,
tu peux toujours écrire f(e4')=a*e1'+b*e2'+c*e3'+d*e4' ; ce qui te donne un système de cramer en (a,b,c,d) à résoudre.

[Alomon]

Salut,

Alors voilà ce que j'ai fait en partant de cette idée :
- dans ton équation, j'ai remplacé les vecteurs de B' par leur expression dans B ; j'obtiens donc f(e₄') exprimé dans B en fonction de a, b, c et d
- j'ai écrit que la matrice de f(e₄') dans B se trouvait en multipliant la matrice A avec celle de e₄' ; j'obtiens f(e₄') exprimé dans B sans aucune inconnue
- j'ai enfin identifié les 2 équations afin de trouver a, b, c et d (système de 4 équations à 4 inconnues)

Le raisonnement me semble logique et suivre ton idée. Peux-tu me confirmer que c'est la bonne méthode ?

Merci beaucoup !

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[cleanmen]

tu te compliques un peu la vie:
-tu connais [e4']^B: [f]*[e3']^B=[e4']^B
tu peux alors calculer:
-[f(e4')]^B : f(e4')=[f]*e4'
-[f(e4')]^B': il suffit de trouver a,b,c,d tels que: f(e4')=a*e1'+b*e2'+c*e3'+d*e4' et alors [f(e4')]^B'=[a,b,c,d]

En fait j'ai pas compris ce que tu voulais dire par l'identification, alors peut-être que j'ai répété ce que tu disais ^^

[Alomon]

Oui, je pense qu'on dit la même chose
Pour moi, identifier c'est trouver des inconnues à partir de 2 équations similaires, l'une dépendant de ces inconnues, l'autre non.

Par exemple :
au + 2bv = 3w et 5u + 6v = 3w
=> a=5 et b=3

Des maths old-school, en somme ^^