Défi géométrique coloré

[MMu]

Salut ami(e)s de la géométrie,

Soit un triangle tel que chaque angle intérieur est .

Chaque point des côtés du triangle est colorié en ou .

Montrer qu'il existe points distincts de même couleur tels que soit un triangle rectangle .

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[Snowey]

Ahah, j'adore ce type de ... défi ^^
Bon, je n'ai pas encore trouvé mais je vais chercher
Celà me fait penser à un "jeu" similaire: On choisit un carré blanc de coté 1 que lequel on jette un pot de peinture noire. Il fallait montrer, si ma mémoire est bonne, qu'il existe deux points de la même couleur distants d'exactement 1 mètre. Mais bon, là c'est assez facile, ton défi est sans doute plus fin

[Seirios]

Bonjour,

Voici le schéma de ma solution :

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On raisonne par l'absurde, et on suppose qu'il existe un triangle T et un coloriage n'admettant pas de tel triangle rectangle. Une première remarque est que les projections orthogonales d'un point sont d'une couleur différente de celle du point initial (il suffit de distinguer les différents cas qui se présentent).
Il peut donc être intéressant d'étudier les projections orthogonales successives d'un point. En particulier, si l'on trouve un cycle d'une longueur impaire, on aboutit à une contradiction : en appliquant la remarque précédente, on trouve que le point est d'une couleur différente de la sienne. Il suffit donc de montrer qu'il existe toujours un point P tel que si l'on projette P sur un côté opposé puis le point ainsi obtenu sur le côté restant, on retombe sur P.
On peut résoudre cette dernière construction en passant par les coordonnées est en résolvant un système linéaire (on peut l'établir en exploitant l'orthogonalité via les produits scalaires).

Par contre, la résolution du dernier point n'est pas très esthétique...

[Seirios]

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En fait, cela revient à considérer le graphe de l'ensemble des points des arêtes d'un triangle tel que deux points sont reliés si une projection orthogonale envoie un point sur un autre. Raisonner par l'absurde revient alors à supposer que le nombre chromatique de ce graphe vaut 2. On montre ensuite que ce graphe admet un cycle de longueur 3, ce qui est impossible.

[A voir en vidéo sur Futura]