Groupes élémentairement équivalents

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aimerais montrer que si , alors et ne sont pas élémentairement équivalents (on se place dans le langage des groupes ). Le plus simple paraît de mettre en évidence une formule vérifiée par l'un et non par l'autre, alors j'ai essayé d'utiliser le nombre différent de générateurs mais je n'arrive pas à l'écrire dans le langage (j'aurais besoin du produit, mais je pense pas qu'il soit définissable à partir de +). Une piste ?

J'aimerais également savoir comment l'on peut montrer que deux groupes sont élémentairement équivalents de manière générale (quelques méthodes principales). Par exemple, comment montrer que et sont élémentairement équivalent ?

Merci d'avance,
Seirios
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[Médiat]

J'aimerais montrer que si , alors et ne sont pas élémentairement équivalents (on se place dans le langage des groupes ).

Sans vous donnez une réponse complète, vous pouvez remarquer que
vérifie
alors que
vérifie

Ces formules ne sont pas dans le bon langage, mais l'important c'est qu'il y a 2 possibilités dans le premier cas et 4 dans le second, ce qui s'exprime facilement dans le langage des groupes. L'écrire comme cela m'a paru plus facile pour faire comprendre l'idée.

[Médiat]

J'aimerais également savoir comment l'on peut montrer que deux groupes sont élémentairement équivalents de manière générale (quelques méthodes principales). Par exemple, comment montrer que et sont élémentairement équivalent ?

J'ai un peu cherché pour montrer que et sont élémentairement équivalent pour le langage des groupes, et j'avoue n'avoir pas trouvé.

Sinon les techniques utilisées sont en général :
Montrer que ce sont deux modèles d'une théorie complète (cela ne marche pas toujours).
Montrer qu'ils sont isomorphes (c'est plus contraignant, mais quand cela marche, c'est généralement plus simple).
Utiliser des théorèmes de la théorie proprement dite.
Sinon comme méthode proprement "théorie des modèles" on peut montrer que des ultrapuissances bien choisies de chacun des modèles sont isomorphes entre elles.
Cas particulier du cas précédent : montrer que l'un des modèles est isomorphe à une ultrapuissance de l'autre.

[Médiat]

J'ai un peu cherché pour montrer que et sont élémentairement équivalent pour le langage des groupes, et j'avoue n'avoir pas trouvé.

Bonjour,

J'ai fni par trouver dans les travaux de Szmielew (1954) qui démontre, entre autres, que si est un groupe abélien sans torsion, alors il est élémentairement équivalent à (c'est donc l'application de la méthode 3 (théorème de classification des groupes abéliens) qui donne la réponse).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Effectivement, cet article en parle, je le mets sur ma liste des documents à lire.

Merci.

[Médiat]

Bonjour,

C'est l'article d'origine de Wanda Szmielew (elève de Tarski).

[Seirios]

J'ai regardé un peu plus en détail l'article de Szmielew, et j'aurais une petite question : l'indépendance modulo est-elle une propriété de la théorie des groupes du premier ordre ? De prime abord, dire que sont indépendants modulo s'écrit : , mais l'on utilise des éléments qui ne sont pas dans le langage. Ce qui pose problème, c'est surtout la quantification sur les (le est exprimable au premier ordre). Comme l'existence d'une famille maximale de n éléments indépendants modulo est vérifiée ou non par tous les groupes d'une même classe d'équivalence élémentaire, on a pourtant envi de dire que l'on peut exprimer cette propriété correctement.

Sinon, j'ai également une question sur le théorème de Löwenheim-Skolem : de ce que j'avais compris, il avait notamment pour conséquence que tout groupe infini était élémentairement équivalence à un groupe dénombrable, pourtant, il me semble que pour forme une classe de groupes élémentairement équivalents, alors qu'aucun d'eux n'est dénombrable...Ai-je compris quelque chose de travers ?

[Médiat]

Bonjour,

J'ai regardé un peu plus en détail l'article de Szmielew, et j'aurais une petite question : l'indépendance modulo est-elle une propriété de la théorie des groupes du premier ordre ? De prime abord, dire que sont indépendants modulo s'écrit : , mais l'on utilise des éléments qui ne sont pas dans le langage. Ce qui pose problème, c'est surtout la quantification sur les (le est exprimable au premier ordre). Comme l'existence d'une famille maximale de n éléments indépendants modulo est vérifiée ou non par tous les groupes d'une même classe d'équivalence élémentaire, on a pourtant envi de dire que l'on peut exprimer cette propriété correctement.?

Je n'ai pas relu l'article de Szmielew, mais je ne crois pas que la formule (si elle existe) qui permet de discriminer les différentes classes de modèles élémentairement équivalents doive(nt) être du premier ordre, même si c'est plus satisfaisant.

Sinon, vous pouvez regarder si les variables quantifiées ne pourraient pas être bornées.

Sinon, j'ai également une question sur le théorème de Löwenheim-Skolem : de ce que j'avais compris, il avait notamment pour conséquence que tout groupe infini était élémentairement équivalence à un groupe dénombrable, pourtant, il me semble que pour forme une classe de groupes élémentairement équivalents, alors qu'aucun d'eux n'est dénombrable...Ai-je compris quelque chose de travers ?

Cela veut dire qu'il existe un modèle dénombrable, mais qu'il n'est pas de la forme . Avec les caractérisations de Szmielew, il devrait être possible de le construire ...

[Seirios]

Cela veut dire qu'il existe un modèle dénombrable, mais qu'il n'est pas de la forme . Avec les caractérisations de Szmielew, il devrait être possible de le construire ...

Pourtant il me semblait que la classe ainsi décrite était complète :

Soit G un groupe élémentairement équivalent à une puissance infini du groupe à deux éléments. Alors il vérifie les formules suivantes : , , (en fait la première découle de la deuxième). G est donc un groupe abélien infini dont tous les carrés sont triviaux. En particulier, on peut le munir d'une structure de -espace vectoriel, donc avec l'axiome du choix, G est de la forme avec .

[Seirios]

Sinon, vous pouvez regarder si les variables quantifiées ne pourraient pas être bornées.

En fait ce n'est pas le cas de manière générale, mais le critère de Szmielew fait intervenir les fonctions (i=1,2,3) où l'on peut effectivement se ramener à un nombre fini de à considérer, donc cela ne pose pas de problème. Je me demandais justement pourquoi ne pas utiliser dans le critère, alors que ses valeurs semblent plus simples à calculer, mais c'est probablement que l'indépendance générale intervenant dans l'expression n'est pas exprimable dans la théorie.
Vous répondez donc à deux de mes questions

[Médiat]

En particulier, on peut le munir d'une structure de -espace vectoriel, donc avec l'axiome du choix, G est de la forme avec .

Mais en tant qu'ev le cardinal de est justement

[Seirios]

Je ne comprends pas pourquoi : Si l'on note la dimension de G en tant que -espace vectoriel, alors G est isomorphe (dans le langage des espaces vectoriels et donc également dans le langage des groupes) à et en particulier, son cardinal vaut . Je ne vois pas ce qu'il y a d'incorrect dans cela.

[Médiat]

L'espace vectoriel de dimension sur est bien de cardinal car il est constitué des combinaisons linéaires finies d'éléments de la base.

[Seirios]

Effectivement, un mauvais réflexe de la dimension finie. Merci.