Pour en finir avec toutes ces matrices

[membreComplexe12]

Salut tous,

suite à un poste sur les normes matricielles, je me suis rendu compte que je n'étais pas très au points avec les différentes propriétés des matrices.
Seiros et MisterDa m'ont donné déjà pas mal d'éléments mais je n'arrive pas à démontrer certaines propriétés.
Tout le long de ce poste je considère une matrice [A] et des valeurs propres L, "vp" veut dire valeurs propres.

I°) matrice non carré :

ma première question est simple : est qu'une matrice non carré est diagonalisable? (si non pk?) en fait je demande ceci car j'ai toujours travaillé avec des matrices carrés

II°) matrice symétrique (coeff reels):

je voudrais savoir comment démontrer (ou même montrer pour une matrice simple 4x4) :

II-1°) pourquoi une matrice symétrique à forcement des valeurs propres réelles ?
lorsque je calcul det(A-L.I) je tombe sur un polynome pas très joli dont le plus haut degès est la taille de la matrice (si elle n'est pas carré c'est le degrès du nombre de ligne ou colonne...?)

un polynome de degès "n" à dans l'espace complexe "n" racines (qui sont mes "n" valeurs propres). Donc mes valeurs propres sont des complexes :euh:
Du coup, comment montrer que ces complexes n'ont pas de partie imaginaire .... (je ne vois pas en quoi la symétrique va jouer quelque chose dans les racine d'un polynome ou les parties imaginaires...)

- cette matrice n'est pas forcement definie positive il faut verifier en plus X^t.A.X>0 ?

II-2°) et des vecteurs propres orthogonaux.

les vecteurs propres d'une matrice sont orthogonaux, mais comment démontrer ceci ?

II-3°) pourquoi une matrice symétrique est forcement diagonalisable ?

III°) matrice réelle non symétrique

j'ai lu sur un cours : "si A est reelle, alors à toute vp complexe Li est associée sa vp conjuguée"

III-1°) je n'ai pas compris qu'es ce qu'on appel une matrice reelle
- c'est une matrice dont tous les coefficients sont positif ? (j'ai vu sur wiki que cela s'appel une matrice positive..)
- une matrice définie positive n'est pas forcement une matrice réelle ?

III-2°) je n'ai pas compris la phrase sur les vp d'une telle matrice
- ça veut dire quoi une vp complexe associée à son conjugué ?
- que doit on conclure de cette phrase ? si une matrice est reelle alors ces vp sont reelles ?

IV°) matrice complexe

dans tous ce que j'ai dis au dessus qu'es ce qui change si ma matrice [A] n'a pas des coefficient réels ?
- une matrice complexe peut elle être définie positive ?
- une matrice complexe symétrique à quelles propriétés ?
...

V°) matrice non diagonalisable

V-1°) je n'ai pas compris pourquoi toutes les matrices ne sont pas diagonalisables
La diagonalisation nous amène à la recherche des racines d'un polynome or on sait que dans le corps? des complexes un polynome de degres "n" à "n" racines. Du coup, je me dis que dans C une matrice est forcement diagonalisable ?

V-2°) une matrice non diag est donc une matrice non diagonalisable dans R ? peut on le voir à l'avance ou doit on arriver jusqu'a la resolution du polynome pour s'en rendre compte ?

je vous remercie d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter
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[AnotherBrick]

Bonjour,

ma première question est simple : est qu'une matrice non carré est diagonalisable?

Revoyez la définition et vous verrez que votre question n'a aucun sens

Pour le reste, vous avez plusieurs éléments de réponse (avec démonstrations) dans cet article de wikipédia

[MisterDa]

Tu devrais ouvrir un bouquin d'algèbre, tu y trouveras toutes les réponses à tes questions.


Je répond juste à cette question :
"si A est réelle, alors à toute vp complexe Li est associée sa vp conjuguée"

A réelle signifie que les entrées de la matrice sont réelles. Si est une vp complexe et un vecteur propre associé : si tu conjugues cette équation (), tu constates que est alors aussi une vp de A et est un vecteur propre associé.

[Weensie]

I°) matrice non carré :

ma première question est simple : est qu'une matrice non carré est diagonalisable? (si non pk?) en fait je demande ceci car j'ai toujours travaillé avec des matrices carrés

Non, une matrice doit être inversible si elle veut-être diagonale. Si elle n'est pas carrée, elle n'est pas inversible (et de plus, comment définir la diagonale sur un tableau nxm, n,m distincts ?, ça ne fait pas de sens)

II-1°) pourquoi une matrice symétrique à forcement des valeurs propres réelles ?

C'est une conséquence du théorème spectral. Il existe plusieurs démonstrations dont une topologique que j'aime pas mal (je te la fournirai si tu le souhaites)

lorsque je calcul det(A-L.I) je tombe sur un polynome pas très joli dont le plus haut degès est la taille de la matrice (si elle n'est pas carré c'est le degrès du nombre de ligne ou colonne...?)

Si elle n'est pas carrée cela n'a pas de sens, le déterminant d'une matrice non carrée est nulle car elle n'est pas inversible.

un polynome de degès "n" à dans l'espace complexe "n" racines (qui sont mes "n" valeurs propres). Donc mes valeurs propres sont des complexes :euh:
Du coup, comment montrer que ces complexes n'ont pas de partie imaginaire ....

non, pas forcément n valeurs propres. Elles peuvent avoir des multiplicités supérieures à 1. Pourquoi montrer qu'ils n'ont pas de partie imaginaire lorsqu'ils en ont une ? (si le polynôme caractéristique d'une matrice réelle est X²+1, elle n'est pas diagonalisable dans R, un point c'est tout)

II-2°) et des vecteurs propres orthogonaux.

les vecteurs propres d'une matrice sont orthogonaux, mais comment démontrer ceci ?

Pas forcément. Si elle est symétrique oui.

j'ai lu sur un cours : "si A est reelle, alors à toute vp complexe Li est associée sa vp conjuguée"

III-1°) je n'ai pas compris qu'es ce qu'on appel une matrice reelle

c'est une matrice à coefficients réels.

III-2°) je n'ai pas compris la phrase sur les vp d'une telle matrice
- ça veut dire quoi une vp complexe associée à son conjugué ?
- que doit on conclure de cette phrase ? si une matrice est reelle alors ces vp sont reelles ?

Ca veut dire que si z est vp, le conjugué de z est également vp, car si z est racine de P, alors z barre aussi.
En effet, soit P un polynôme de degré n, . En passant au conjugué à droite et à gauche on voit bien que le conjugué de z est aussi racine.

V-1°) je n'ai pas compris pourquoi toutes les matrices ne sont pas diagonalisables
La diagonalisation nous amène à la recherche des racines d'un polynome or on sait que dans le corps? des complexes un polynome de degres "n" à "n" racines. Du coup, je me dis que dans C une matrice est forcement diagonalisable ?

V-2°) une matrice non diag est donc une matrice non diagonalisable dans R ? peut on le voir à l'avance ou doit on arriver jusqu'a la resolution du polynome pour s'en rendre compte ?

Une matrice dans C est forcément trigonalisable, puisque son polynôme caractéristique est scindé. S'il est a racine simples, l'endomorphisme est diagonalisable. Sinon, il faut que la multiplicité de la vp soit égale à la dimension de l'espace propre associé, ce qui n'est pas tjrs le cas.

On peut pas en général voir a l'avance si une matrice est diagonalisable ou non. A moins qu'elle ne soit clairement pas inversible (en l'occurrence pas carrée...)



Je finirai mon message par un conseil qui (pardonne m-en d'avance) peut sembler prétentieux: Je crois que si tu te poses toutes ces questions, c'est que tes bases en algèbre linéaire ne sont pas correctement acquises. Il faut les étudier avant de passer à la diagonalisation.
Je te recommande un excellent livre: Algèbre Linéaire, par Joseph Grifone, chez cépaduès.
Mais ne t'inquiète pas, c'est un domaine passionnant et facile à comprendre au début. Courage!

[A voir en vidéo sur Futura]

[membreComplexe12]

Je répond juste à cette question :
"si A est réelle, alors à toute vp complexe Li est associée sa vp conjuguée"

A réelle signifie que les entrées de la matrice sont réelles. Si est une vp complexe et un vecteur propre associé : si tu conjugues cette équation (), tu constates que est alors aussi une vp de A et est un vecteur propre associé.

merci déjà de répondre à ceci c'est très gentil.

j'ai compris ton explication mais la conclusion...
d'après ce que tu m'as montré c'est que si on a une valeur propre complexe alors sa conjugué est aussi une valeur propre, OK.

mais doit on conclure de ceci qu'on a une valeur propre réelle ? si oui pourquoi ... ?

[membreComplexe12]

Non, une matrice doit être inversible si elle veut-être diagonale. Si elle n'est pas carrée, elle n'est pas inversible (et de plus, comment définir la diagonale sur un tableau nxm, n,m distincts ?, ça ne fait pas de sens)
Si elle n'est pas carrée cela n'a pas de sens, le déterminant d'une matrice non carrée est nulle car elle n'est pas inversible.
non, pas forcément n valeurs propres. Elles peuvent avoir des multiplicités supérieures à 1. Pourquoi montrer qu'ils n'ont pas de partie imaginaire lorsqu'ils en ont une ? (si le polynôme caractéristique d'une matrice réelle est X²+1, elle n'est pas diagonalisable dans R, un point c'est tout)

ah oui, j'ai compris, c'était pas si dur que ça

Pas forcément. Si elle est symétrique oui.

c'est une matrice à coefficients réels.

j'ai compris ça à présent

Ca veut dire que si z est vp, le conjugué de z est également vp, car si z est racine de P, alors z barre aussi.
En effet, soit P un polynôme de degré n, . En passant au conjugué à droite et à gauche on voit bien que le conjugué de z est aussi racine.

le coup du conjugué j'ai compris mais je n'ai pas saisi la conclusion de tout ceci (cf. message que j'ai posé en réponse à misterda)

Une matrice dans C est forcément trigonalisable, puisque son polynôme caractéristique est scindé. S'il est a racine simples, l'endomorphisme est diagonalisable. Sinon, il faut que la multiplicité de la vp soit égale à la dimension de l'espace propre associé, ce qui n'est pas tjrs le cas.

On peut pas en général voir a l'avance si une matrice est diagonalisable ou non. A moins qu'elle ne soit clairement pas inversible (en l'occurrence pas carrée...)

ok, j'ai saisi

[QUOTE=Weensie;3887603]
Je finirai mon message par un conseil qui (pardonne m-en d'avance) peut sembler prétentieux: Je crois que si tu te poses toutes ces questions, c'est que tes bases en algèbre linéaire ne sont pas correctement acquises. Il faut les étudier avant de passer à la diagonalisation.
Je te recommande un excellent livre: Algèbre Linéaire, par Joseph Grifone, chez cépaduès.
Mais ne t'inquiète pas, c'est un domaine passionnant et facile à comprendre au début. Courage!

moi, en effet mes bases sont pas top (c'est vieux pour moi tous ceci) mais à présent je me suis replongé dedans grâce à vous et ça va un peu mieux

[Tiky]

La matrice carrée nulle est non-inversible et diagonalisable. Elle est même diagonale.
En revanche une matrice carrée est inversible si et seulement si elle n'admet pas 0 pour valeur propre.

Ensuite la déterminant d'une matrice non carrée n'existe pas. Cela n'a donc aucun sens de dire qu'il est nul.

[Weensie]

absolument. Je voyais ça dans le sens ou l'application linéaire associée était non-inversible. Mais ce n'est effectivement pas un endomorphisme. J'ai été victime de l'habitude.
Et oui, clairement, la matrice nulle est le seul exemple de matrice non-inversible diagonalisable.

[membreComplexe12]

La matrice carrée nulle est non-inversible et diagonalisable. Elle est même diagonale.
En revanche une matrice carrée est inversible si et seulement si elle n'admet pas 0 pour valeur propre.

Ensuite la déterminant d'une matrice non carrée n'existe pas. Cela n'a donc aucun sens de dire qu'il est nul.

merci pour ces compléments

[Tiky]

Euh non...
Il y a une infinité de matrices carrées diagonalisables non-inversibles. Il suffit que polynôme caractéristique
est 0 comme valeur propre comme je l'ai dit dans mon message précédent.

[Tiky]

Je voulais dire racine et non valeur propre évidemment.

[Weensie]

ça dépend, j'ai appris avec l'inversibilité, c'est une condition qui a été posée. mais dans le cas général, comme tu dis, il suffit qu'il y ait au moins un zéro sur la diagonale.

[Tiky]

Ce n'est pas possible qu'on ait appris cela. C'est inutile de faire cette hypothèse d'inversibilité et ça ne fait que compliquer la théorie !
Je te mets au défi de me trouver un seul document sur le net où l'on fait une telle hypothèse.

[Weensie]

En réalité on avait séparé les cas il me semble je sais plus trop pourquoi. En gros les matrices diagonalisables non-inversibles faisaient partie des "cas dégénérés" qu'on étudiait pas. Mais en effet on avait tjrs dit que diagonalisable<=>+ polycar scindé à racines simples (pas forcément non-nulles). Comme ça remonte à loin, je ne peux pas non plus certifier.
Sinon je suis d'accord pour tous tes exemples evidemment

[Tiky]

Tu dois confondre avec les formes bilinéaires.

[membreComplexe12]

en fait, il semblerai que les matrices non carrés soient diagonalisable également, en fait on appel pas ça comme cela, on appel ceci :

décomposition en valeurs singulières

[Weensie]

non, je ne confonds pas.

[Weensie]

en fait, il semblerai que les matrices non carrés soient diagonalisable également, en fait on appel pas ça comme cela, on appel ceci :

décomposition en valeurs singulières

Oui en effet, ca ressemble à une sorte de généralisation, mais ce n'est pas une diagonalisation.
Mais il existe pas mal d'autres trucs inventés pour les matrices rectangulaires, comme la pseudo-inversion de Penrose, tu peux checker si ça t'intéresse.

[membreComplexe12]

Oui en effet, ca ressemble à une sorte de généralisation, mais ce n'est pas une diagonalisation.
Mais il existe pas mal d'autres trucs inventés pour les matrices rectangulaires, comme la pseudo-inversion de Penrose, tu peux checker si ça t'intéresse.

merci pour l'info

A+