Théorie de la mesure et intégration de Lebesgue (au début)

[invitec12706a7]

Bonjour,

Je suis actuellement un cours de théorie de la mesure et d'intégration et j'ai quelques difficultés pour faire mes exercices très rigoureusement.

Par exmple: Comment prouver que si deux fonctions f,g: R → R continues sont égales sauf sur un ensemble de mesure nulle, alors elle sont égales partout.

Il est clair que l'ensemble des points où elles ne s'égalent pas est un ouvert de R. Mais je ne vois pas comment montrer que cet ouvert de mesure nulle est l'ensemble vide.

Merci d'avance a ceux qui aurait le temps de m'aider !

[invite88ef51f0]

En raisonnant sur la différence de tes 2 fonctions, le problème revient à montrer qu'une fonction nulle presque partout et continue et nulle partout.
Je dirais que si tu supposes le contraire et que tu prends un point x0 où cette fonction n'est pas nulle, tu peux trouver un voisinage ]x0-a;x0+a[ où la fonction n'est pas nulle (car la fonction est continue). Or ce voisinage n'est pas de mesure nulle, ce qui contredit les hypothèses... CQFD

[invitec12706a7]

Excellent ! Merci beaucoup, j'y vois un peu plus clair maintenant.