Longueur minimale

[AIB]

Bonjour

Déterminer la position d'un point P sur la circonférence d'un cercle (C) telle que la longueur AP + PB soit minimale, A et B étant deux points donnés du cercle (disque).
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[ericcc]

Si A et B sont sur le cercle, il suffit de prendre le point où la bissectrice de AOB (O est le centre du cercle) coupe le cercle.
Si A et B sont quelconques, je soupçonne que cela reste vrai

[Tryss]

Non ericcc, si A et B sont sur le cercle, il faut prendre P=A ou P=B (par inégalité triangulaire)

Pour le cas ou ils sont sur le disque ouvert, aucune idée, mais ça ne m'étonnerai pas que ce problème n'ai pas une jolie solution géométrique

[ericcc]

Ah oui, milles excuses, j'ai dégainé sans réfléchir

[A voir en vidéo sur Futura]

[AIB]

Bonsoir,

Les angles (AP,PO) et (OP,PB) sont égaux : l'angle d'incidence = l'angle de réflexion (la lumière parcourt le plus court chemin).
La construction du point P se fait avec la règle et le compas.

Voici un exercice qui peut servir d'introduction à l'exercice précédent :

Déterminer, à l'aide de la règle et du compas, la position d'un point P sur une droite (D) telle que la longueur AP + PB soit minimale, A et B étant deux points donnés d'un demi-plan de la droite (D).

[AIB]

Bonsoir,

l'inversion du cercle (C) en une droite dans une inversion de puissance positive peut être une voie de résolution du problème.

[invite50625854]

Je répondrais a l'instinct qu'il faut P telle que l'angle APB soit le plus plat possible.
(ce qui nous rapproche au mieux de la ligne droite parfaite...)

[AIB]

Bonjour,

La construction est faite à la règle et au compas.

Soient (D) une droite non sécante avec le cercle (C) et perpendiculaire à OA (ou OB), A' et B' les images de A et B dans l'inversion de (C) en (D).
Soit P' un point déterminé telle que la longueur A'P' + P'B' soit minimale, le point P est l'intersection de OP' avec le cercle (C).

[AIB]

le point P' est sur la droite (D).

[AIB]

Bonsoir,

je corrige une erreur de notation :
le pôle d'inversion est le point O', extrémité du diamètre passant par A (ou B).

Soient (D) une droite non sécante avec le cercle (C) et perpendiculaire à OA (ou OB), A' et B' les images de A et B dans l'inversion de (C) en (D) de pôle O'.
Soit P' un point de (D) déterminé telle que la longueur A'P' + P'B' soit minimale, le point P est l'intersection de O'P' avec le cercle (C).

[AIB]

Bonjour

Déterminer la position d'un point P sur la circonférence d'un cercle (C) telle que la longueur AP + PB soit minimale, A et B étant deux points donnés du cercle (disque).

Construction à la règle et au compas :
Soient (T₁) la tangente au cercle (C) au point t₀ (extrémité du rayon portant OB), t₁ le point d’intersection de AB₁ et du cercle (C), ( B₁ est le point symétrique de B par rapport à (T₁) ).
Soient (T₂) la tangente au cercle (C) au point t₁, t₂ le point d’intersection de AB₂ et du cercle (C), ( B₂ est le point symétrique de B par rapport à (T₂) ).
De façon itérative :
Soient (T_n) la tangente au cercle (C) au point t_(n-1), t_n le point d’intersection de AB_n et du cercle (C), ( B_n est le point symétrique de B par rapport à (T_n) ).
Le point P à construire est le point t_n tel que t_n = t_(n-1).

Cordialement