Fonction additive ou linéaire ?

[C.B.]

On m'a posé le problème suivant, et je n'ai pas su y répondre. Peut être l'un(e) d'entre vous a une solution ?

Soit f une fonction réelle (de R dans R) additive, c'est à dire telle que f(x+y)=f(x)+f(y).
Peut on prouver qu'elle est linéaire, i.e. f(ax+by) = af(x)+bf(y) ?
Si ce n'est pas le cas y a t il un contre-exemple ?

On ne sait pas si f est continue ou monotone, ce serait trop facile.

Bien sur on voit facilement que pour tout rationnel q, f(qx)=qf(x); mais ensuite ?

NON, ce n'est pas vrai.
Il existe des fonctions f additive qui ne sont pas linéaires (voir le contre-exemple typique donné précédemment). Cependant, il est nécessaire d'utiliserl'axiome du choix pour prouver qu'il existe des fonctions linéaires non-additives

Si f est additive, elle est Q-linéaire (mais pas forcément R-linéaire).

Si f est une fonction Q linéaire de R dans R, les propositions suivantes sont équivalentes :

(i) f est R-linéaire
(ii) f est continue
(iii) f est Lebesgue mesurable
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[GuYem]

Nous sommes donc ici en présence d'une fonction qui n'est pas lebesgue mesurable. Je crois que c'est la première fois que j'en vois.

[matthias]

En repensant à ce fil je me suis aperçu (sauf erreur) que les sous-groupes de (R;+) qui étaient des noyaux d'endomorphisme de (R;+) étaient exactement les sous-espaces vectoriel de R pris comme Q espace vectoriel. Cela comprend notamment tous les sous-corps de R mais pas seulement.

S'il n'y a pas d'erreur, je me doute bien que ça n'a rien de révolutionnaire, mais il y a moyen de généraliser ceci à d'autres corps ?

[C.B.]

En repensant à ce fil je me suis aperçu (sauf erreur) que les sous-groupes de (R;+) qui étaient des noyaux d'endomorphisme de (R;+) étaient exactement les sous-espaces vectoriel de R pris comme Q espace vectoriel. Cela comprend notamment tous les sous-corps de R mais pas seulement.

S'il n'y a pas d'erreur, je me doute bien que ça n'a rien de révolutionnaire, mais il y a moyen de généraliser ceci à d'autres corps ?

Je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu veux dire.
Par : "les sous-groupes de (R;+) qui étaient des noyaux d'endomorphisme de (R;+)", tu veux parler d'endomorphismes de groupe ?

Si mon interprétation est correcte, alors on peut généraliser facilement aux corps de caractéristiques 0 :

Si K est un corps de caractéristique 0, et f un endomorphisme de groupes additifs de (K,+) dans (K,+), alors on montre par récurrence que f est un endomorphisme de Z module, puis un endomorphisme de Q espace vectoriel.

Ainsi, sur K il y a équivalence entre :
(i) f est un morphisme de groupes addtifs de K dans K
(ii) f est un morphisme de Q-espaces vectoriels de K dans K

L'ensemble des noyaux de morphismes de Q espaces vectoriels de K dans K est exactement l'ensemble des sous Q-espaces vectoriels de K.

On en déduit donc que :
"les sous-groupes de (K;+) qui étaient des noyaux d'endomorphisme de (K;+) sont exactement les sous-espaces vectoriel de K pris comme Q espace vectoriel."

Si K est un corps de caractéristique p, on montre de la même manière qu'un morphisme de groupes additif de K dans K est un morphisme de Z/pZ espace vectoriel.

On peut donc conclure, de manière générale que :
"les sous-groupes de (K;+) qui étaient des noyaux d'endomorphisme de (K;+) sont exactement les sous-espaces vectoriel de K pris comme espace vectoriel sur son corps premier."

[matthias]

Je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu veux dire.
Par : "les sous-groupes de (R;+) qui étaient des noyaux d'endomorphisme de (R;+)", tu veux parler d'endomorphismes de groupe ?

Oui, je parlais bien d'endomorphisme de groupe bien sûr.

Merci pour toutes ces explications.

[ericcc]

Merci à tous pour cette réponse détaillée. La solution est donc non triviale, puisqu'il faut passer par l'axiome du choix pour exhiber le contre exemple !

Un commentaire sur la réponse de CB : je crois bien que quand f est monotone, alors elle est R linéaire (voir mon post ci dessus). Dans ce cas j'ai le sentiment qu'elle est continue, et donc qu'on peut ajouter une quatrième équivalence à ta liste ?