espace Lp

[Gumus07]

Bonjour les matheux
j'ai une petite question
on me demande de montrer que :
en utlisant l'indication suivante:


si est un espace mesuré avec


on a


ou
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
as-tu réussi à démontrer le résultat intermédiaire ? Vois-tu en quoi il est utile ?

En fait on peut aussi utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

[Tiky]

Bonjour,

Tu peux déjà remarquer que :

[Gumus07]

Bonjour,
oui j'ai fait la démonstration avec l'inégalité de Cauchy-Schwartz ;
oui c'est ça, le probleme, je n'ai pas pu démontré le résultat intermédiaire et je ne sais en quoi il est utile,
Merci pour votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gumus07]

Bonjour,

Tu peux déjà remarquer que :

comment cela est-il possible..??

[Tiky]

Oups l'indice est évidemment n et non k !



Soit , alors pour l'entier n tel que
C'est-à-dire l'entier pour lequel on a . On a plus qu'à élever à la puissance p.

[Gumus07]

oui c'est vrai ça, merci

[Gumus07]

Merci beaucoup
donc si on a on a forcement
et pour l'autre sens..??

Merci encore pour votre aide

[Tiky]

L'intérêt de la question intermédiaire est que (pourvu que ) :


Tu en déduis ainsi le résultat.

Pour l'autre sens, il faut forcément utiliser l'hypothèse de mesure finie.

[Gumus07]

ah ok , je comprend maintenant l’intérêt de cette question intermédiaire , merci infiniment pour votre aide
je vais essayer de réfléchir pour l'autre sens , mais peut on utiliser le fait que :
on a aussi

Merci encore

[Tiky]

Oui je pense que c'est ce qu'il faut faire. En fait tu as :


Et il faut utiliser l'hypothèse de finitude de la mesure pour réussir à en déduire la convergence
de la série avec le terme .

[Gumus07]

d'accord je vois maintenant,
une autre question s'il vous plait :
on ne peut pas dire que ..??

[Tiky]

Non on ne peut pas en effet ^^.

[Gumus07]

donc il faut voir autrement , pour démontrer ce qu'il reste....
Merci encore pour toute vos réponses

[Tiky]

Oui, ce n'était qu'une idée. Au passage dans mon avant dernier message, c'était une indicatrice .

[Gumus07]

d'accord je comprend, merci , mais si vous trouverez comment doit on procéder pour avoir la réponse exacte, elle me serait très utile, parce que la j'ai pas su par ou commencer
Merci infiniment pour votre aide

[Tiky]

En fait la piste que je proposais fonctionne bien.
Supposons f dans .

On a :

Or .
Par positivité des séries, on peut conclure.

Le problème étant qu'on n'a pas utilité l'hypothèse de finitude de la mesure et elle est absolument nécessaire.
Je ne vois pas où est l'erreur :/
La commutation intégrale-série s'obtient avec le théorème de Beppo Levi.

[Gumus07]

oui c'est excellent , merci beaucoup pour votre réponse,
peut être que vous l'avez utilisé sans vous rendre compte..??
oui c'est vrai je me suis demandé cette question sur la commutation ...
je vous remercie encore une fois pour votre aide
Bonne journée..

[Tiky]

Justement je ne vois pas où j'en ai eu besoin. Prudence...

[Gumus07]

ouiii c'est vrai

[Tiky]

Bon j'ai déjà une première erreur. Dans la première majoration, si f prend des valeurs entières, l'inégalité est fausse.

[Tiky]

Note que ça ne change rien au problème, il suffit de remplacer par l'ensemble .

[Gumus07]

c'est bien ça, donc y'a pas d'erreurs, tout est juste ...

[Tiky]

Non le problème n'est toujours pas résolu.

[Tryss]

Sinon l'inclusion peux aussi se faire de façon triviale avec l'inégalité de Hölder:

Soit

La fonction constante (c'est ici que l'hypothèse de la finitude de la mesure est importante)

Donc par Hölder,

ie. , et f appartient donc à

[Tiky]

Je pense que l'objectif de l'exercice était de faire autrement justement.

[Gumus07]

Merci pour l'autre réponse, donc vous pensez qu'on devrait résoudre cet exercice sans utiliser l'indication donnée ?

[invite899aa2b3]

Or .
Par positivité des séries, on peut conclure.

Le problème étant qu'on n'a pas utilité l'hypothèse de finitude de la mesure et elle est absolument nécessaire.
Je ne vois pas où est l'erreur :/

Le fait que l'on soit sûr que la mesure de est finie permet de manier les équivalents.

[Tiky]

Malheureusement non, je suis sous l'hypothèse que |f|^p intégrable lorsque je fais intervenir cet équivalent.
Si n'était pas fini (pour n > 1), |f|^p ne serait pas intégrable.

[Tiky]

Mais effectivement, on n'a pas la garantie que est fini !
C'était plutôt subtile sur ce coup. Merci de ton aide.