Tout est dans le titre. Moi je vois la démonstration d'une propriété comme la mise en évidence de cette propriété à partir des axiomes posés. C'est à dire déduire des principes élémentaires des "règles qui sont plus générale".
Mais ce n'est pas suffisant alors j'attends vos explications.
je ne voi pas quoi rajouter a ta definition.
tu a une axiomatique qui definit les verité fondamental,
tu a une seri de "regle" que tu peut utiliser (les regles de la logique en general par exemple (A et A=>B) donne B), -on peut aussi considerer que ces regles font parti des axiomes mais sa a quelque chose de "genant"-
a partir de la une demonstration c'est a partir des axiomes et en appliquant les regles definit montrer qu'un proposition est vrai (la notion de vrai faisant elle meme parti des regles definit)
Mais est-ce que deux démonstrations justes peuvent mener à deux résultats contradictoires? Etant donné qu'on part d'axiome qui sont par définition non démontrés...
Ca signifierait que le système d'axiomes n'est pas consistant. Or même si le théorème de Gödel vient mettre le bazar, on estime que les systèmes d'axiomes sont suffisament bien faits.Envoyé par Eogan
objection le theoreme de Godel ne fou aucun bordel, comme son nom l'indique il s'agit d'un theoreme sur l'imcompletitude et non sur l'inconsistance, il garanti juste l'existence d'un nombre infinit de proposition indecidable independante.
si tu arrive a deux resultat contradictoir cela signifi que ton axiomatique est inconsistante, et dans les regle usuelle de la logique cela signifi que toute proposition est par rapport a ton axiomatique a la foi vrai et fausse, y compris les axiome eux meme :
en effet : soit C une assertion contradicoit ie C et non C
et soit A une assertion quelconque.
on a
C est vrai, donc A ou C est vrai, A ou C peut s'ecrire A ou non(nonC) ce qui en logique signifie nonC=>A, or non C est vrai donc A est vrai.
on procede de la meme facon avec non A, et on montre que non A est vrai.
donc dans un modele inconsistant toute proposition est a la foi vrai est fausse.
les mathematiques sont construit sur des axioms suffisement simple pour etre sur qu'il ne soit aps contradictoire, bien que selon les ouvrages les axiomes de depart ne sont pas les meme. (par exemple quand on construit N on peut prendre comme axiome l'existence du plus petit element de toute parti non vide, ou le principe de recurence, les deux etant equivalent sauf erreur de ma part)
Ca c'est le deuxième théorème, le plus connu. Le premier établit l'impossibilité de démontrer la consistance de certains systèmes axiomatiques en restant dans ce système.
Je me suis poser une question a propos des axiomes de Godel et de theorie axiomatisées :
Si un systeme d'axiome n'est pas consistant, mais non contradictoire, peut-on le completer indefiniment en y ajoutant justement soit les afirmation ou infirmation des propositions indecidables qui en sont indépendantes?
Bon j'espere que je me suis pas embrouillé, il est tard...
pas consistant et contradictoir sauf erreur de ma part sa veux dire la meme chose.
ce dont tu parle c'est d'un systeme incomplet (cad qui contien des proposition indecidable)
et oui rajouter on peut le completer autant qu'on le souhaite en rajoutant les proposition indecidable comme axiom... (mais d'apres le th Godel, il ne sera jammais complet, a moin de devenir inconsistant)
Bonjour,
Une réflexion de grincheux:
En français, on dit "théorie cohérente", incohérence, etc...
"Consistant" est un horrible et inutile anglicisme, dans ce sens...
Cordialement,
C'est vrai, mais j'avoue que dans ce cadre là, j'ai rarement vu employé l'expression "système d'axiomes cohérent"
possible, mais c'est le mot qu'on retrouve partous alors...
Avant d'affirmer cela, cherche sur Google "Godel cohérence", et tu verrais que ton "partout" est fort exagéré... Avec 30 ans que je m'intéresse au sujet, je peux dire que voir cette erreur couramment est assez récent, 10/15 ans au plus...
Par ailleurs, dire que plein de personnes font la même erreur ne justifie pas l'erreur! A ce train là, ce sera admis dans les dico, on le trouve déjà... Mais on peut essayer de lutter contre des modifications inutiles de la langue: ici l'alternative "normale" existe et est parfaitement adaptée...
Je ne suis pas un maniaque de la normation du langage, on fait tous des petites fautes. Mais un petit effort me semble utile... Un forum publique comme celui-ci est lu par pas mal de monde, dont des jeunes qui découvrent le sujet; cela n'est-il pas un argument pour faire un petit effort?
Cordialement,
D'ailleurs avec "Godel coherence" on trouve aussi beaucoup de sites en anglais (et oui ça marche aussi)
En logique, j'avais vu deux définitions différente.
Il n'y avait équivalence entre ces deux définition qu'en utilisant l'axiome du choix.
Consistant : qui a un modèle
Non-Consistant : qui n'a pas de modèle
Contradictoire : Se dit d'un ensemble de formule dont la cloture déductive contient toutes les formules (on peut tout déduire à partir d'une théorie contradictoire) i.e. dont la cloture déductive contient l'absurde.
