Groupe et centre

[mj4]

Bonjour, j'ai un calcul à faire dans un groupe, mais je ne suis pas sure:

Soit G une groupe de neutre et u un élément du centre de G , (x,y,z) appartiennent à G^3 et u=xyz et x^2=y^2=z^2=e
montrer que u^4=e

u^4= ((xyz)^2)^2=(x^2.y^2.z^2)^2=(e ^3)^2=e

je peux utiliser la commutativité parce que u est élément du centre de G, c'est bien ça ?

Merci d'avance
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[invite76543456789]

Salut,
rien ne te dit a priori que x et y et z sont dans le centre, seul u, l'est donc non tu ne peux pas faire commuter x y et z.

[thepasboss]

Bonsoir,

voici en spoiler la solution, ne pas tout regarder si vous voulez chercher par vous même donc.

(xyz)(xyz)(xyz)(xyz) =

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(xyz)x(xyz)yz(xyz) [ici on a déplacé le x de la troisième parenthèse en exploitant le fait que xyz commute avec x]

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= (xyz)(yz)(yz)(xyz) [car x est d'ordre 2] = (xyz)y(xyz)z(yz) [toujours avec la commutativité, on a déplacé la dernière parenthèse au milieu de la seconde]

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= (xyz)yxz = yx(xyz)z = e

[mj4]

D'accord, merci beaucoup mais en faite je ne comprends pas pourquoi on a le droity d'utiliser la commutativité parce qu'on ne sait pas si x,y et z sont éléments du centre

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[thepasboss]

Le centre d'un groupe est par définition constitué de tous les éléments du groupe qui commute avec tous les éléments du groupe. Aka si Y est dans le centre, alors pour tout x dans G, on a XY=YX.