Vérification de la linéarité d'une application

[inviteef99d8a5]

Salut je cherche a savoir comment Vérifier la linéarité de ces applications la :
1- f(X)= x-1
2- f(X,Y)= xy
3-f(x,t)= (e^t,x+t)
4-f(x,y,z)= (y,1)
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[albanxiii]

Bonjour,

En utilisant simplement la définition, on s'en sort sans problème.

Bonne journée.

[invitef17c7c8d]

3-f(x,t)= (e^t,x+t)

Les maths modernes, c'est dur quand même!
Impossible de voir quelle est la gueule de cette fonction!

[inviteef99d8a5]

Le problème c'est que ces exemples la ne se résolurent pas de en utilisant la définition ! g réussi vérifié la linéarité de toutes les autres application en utilisant la définition mais pas ces exemples la !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Bonsoir,

Pour montrer qu'une application n'est pas linéaire, le plus simple est de regarder ce qui se passe en 0 ou en multipliant le vecteur en lequel on évalue la fonction par un scalaire.

[invitef17c7c8d]

Si alors la fonction est linéaire.

Pour le 1.



et



1. Fonction non linéaire.

[Seirios]

Si alors la fonction est linéaire.

Il faudrait plutôt dire : s'il existe et tels que , alors f n'est pas linéaire.

[invitef17c7c8d]

Il faudrait plutôt dire : s'il existe et tels que , alors f n'est pas linéaire.

Oui, tout à fait. Mais je ne maitrise pas ce type de rigueur imbécile en bon non-mathématicien que je suis.

[inviteef99d8a5]

Merci !
pour le 2eme exemple je crois qu'on le vérifie de cette maniere :
en donnant un contre exemple !
f(X,Y)= xy , f(2,2)=4 par contre 2 f(1,1)= 2 , 4 n'est égale pas a 2 donc cette application n'est pas linéaire .

[PlaneteF]

Oui, tout à fait. Mais je ne maitrise pas ce type de rigueur imbécile en bon non-mathématicien que je suis.

Bonsoir,

En l'occurrence, il ne s'agit pas d'une non-maîtrise d'une quelconque rigueur, mais surtout le problème d'une définition incomplète

f linéaire

(il n'y a pas que la multiplication par un scalaire à considérer, mais aussi l'addition)

[inviteef99d8a5]

Merci je prendrai ça en considération !

et a propos de cette application f(x,t)= (e^t,x+t) ?

[thepasboss]

Bonsoir,

comparez 2*f(1,1) et f(2,2), en gardant à l'esprit que e > 2.

[PlaneteF]

Merci !
pour le 2eme exemple je crois qu'on le vérifie de cette maniere :
en donnant un contre exemple !
f(X,Y)= xy , f(2,2)=4 par contre 2 f(1,1)= 2 , 4 n'est égale pas a 2 donc cette application n'est pas linéaire .

Bonsoir,

Non, attention, tu as une fonction à 2 variables, ... et donc dans ce cas, la bilinéarité se fait sur chacune des variables prises séparément et non pas sur les 2 variables en même temps.

Tu as la définition complète de la multilinéarité dans le lien ci-dessous :

http://fr.wikiversity.org/wiki/Appli...C3%A9finitions


Du coup je te laisse le démontrer, mais la fonction f(x,y)=xy est en fait bilinéaire.

[Seirios]

comparez 2*f(1,1) et f(2,2), en gardant à l'esprit que e > 2.

Ou plus simplement, calculer f(0,0).

Non, attention, tu as une fonction à 2 variables, ... et donc dans ce cas, la bilinéarité se fait sur chacune des variables prises séparément et non pas sur les 2 variables en même temps.

Je pense qu'ici une demande d'étudier la linéarité comme application de dans . Il n'est donc pas question de bilinéarité.

[PlaneteF]

Ou plus simplement, calculer f(0,0).

Oui, ... d'ailleurs pour la question 1), de la même manière il suffisait de remarquer que f(0)= -1, donc différent de 0, donc l'application n'est pas linéaire.

Je pense qu'ici une demande d'étudier la linéarité comme application de dans . Il n'est donc pas question de bilinéarité.

Je me suis effectivement posé cette question en répondant, et on peut reconnaître que la façon dont est présentée la fonction f dans ce post prête à confusion. En effet, lorsque l'on met en variable X et Y en lettre majuscule, sans aucune parenthèse qui désignerait un couple, et ensuite on met x et y en lettre minuscule, le tout sans préciser les EV qui sont en jeu, alors on peut comprendre :
f(X,Y)=f[X(x),Y(y)]=xy

Maintenant si l'énoncé, c'est plutôt : f[(x,y)]=xy, alors effectivement l'application n'est pas linéaire et le contre-exemple donné par vinskapen est OK ! ... mais l'énoncé n'est pas suffisament explicite !