Bonjour à tous, c'est la fin de la preuve suivante que je ne comprends pas : f:[0,1]->[0,1] croissante, montrer qu'elle admet un point fixe
"Alors si j'ai bien compris, on a le problème suivant :
On se donne f:[0,1]->[0,1] croissante, montrer qu'elle admet un point fixe. Cela se voit assez bien sur un dessin c'est vrai.
Je propose une solution (un peu tordue c'est vrai, mais je n'utilise pas de continuité dedans), le symbole <= signifiant inférieur ou égal, de même pour >=.
Etant donné l'ensemble de départ et d'arrivée de f on a donc
f(1)<=1, il en résulte que l'ensemble E={x dans [0,1] / f(x)<=x} est une partie non vide minorée de R donc admet une borne inférieure a.
pour x dans E, x>=a (a est la borne inf de E),
d'où par croissance x>=f(x)>=f(a) ce qui montre que f(a) minore E
on en déduit f(a)<=a d'où toujours par croissance de f, f(f(a))<=f(a)
donc f(a) appartient à E, minore E et vaut donc infE=a.
On a ainsi prouvé que f(a)=a."
En quoi si f(a) minore E et f(a) appartient à E, alors c'est la borne inf de E ? Il me semble que ce n'est pas ça la définition.... Ici ça correspond plus au plus petit élément non ?
Merci
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