Matrice nilpotente

invite686731fa · 01/06/2012, 22h55

Bonjour, dans un exercice il m'était demandé de trouver une matrice d'ordre 7 appartenant au groupe linéaire des matrices 3*3 de Z/2Z.
Comment trouver une telle matrice dans ce cas particulier, et en général ?

**Seirios** · 02/06/2012, 07h01

Bonjour,

Quelques pistes (je n'ai pas vérifier si cela fonctionnait) : pour s'assurer que la matrice est inversible, tu peux la prendre triangulaire avec les coefficients diagonaux égaux à 1 ; ensuite, tu peux ajouter quelques coefficients hors de la diagonale et regarder les premières puissances d'une telle matrice.

**Amanuensis** · 02/06/2012, 13h10

Vu le peu de réponse, je me permets d'indiquer que les extensions algébriques de corps donnent une solution "évidente" (il me semble) quand on connaît (ou, comme moi, si on a travaillé sur les séquences binaires obtenues par rebouclage linéaire). On est présence d'un cas particulier, une matrice nxn et comme ordre 2^n-1 (qui est en plus premier).

Est-ce que par hasard l'exercice est posé dans un cadre qui a un rapport avec l'un de ces domaines ?

invite686731fa · 02/06/2012, 21h14

L'exercice est posé en rapport avec les modules sur les anneaux, décomposition de Frobenius et de Jordan

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**0577** · 04/06/2012, 20h09

Bonsoir,
on commence par une réponse concrète:
par exemple, les matrices
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont d'ordre 7 dans $\text{[math]}$

Comment deviner ces matrices ?
On cherche A d'ordre 7. On a $\text{[math]}$ .
Le polynôme minimal de A est donc nécessairement un diviseur de $\text{[math]}$ .
On décompose $\text{[math]}$ en polynômes irréductibles sur $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$
A étant différent de l'identité et le polynôme minimal étant de degré au plus trois, le polynôme minimal de
A est soit $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ . Or ces polynômes ne divisent aucun $\text{[math]}$
pour n<7. Les matrices d'ordre 7 sont donc exactement celles dont le polynôme minimal est
$\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .
Le polynôme minimal est dans ce cas égal au polynôme caractéristique : il suffit de prendre les matrices
compagnons pour trouver les deux exemples cités plus haut.

(on peut vouloir écrire toutes les matrices d'ordre 7 : il y en a 24 de polynôme minimal $\text{[math]}$
et 24 de polynôme minimal $\text{[math]}$ . Ce n'est pas dur si on remarque que A est nécessairement cyclique).

invite686731fa · 07/06/2012, 13h29

Merci c'est précisément ce que je cherchais

Matrice nilpotente