Développement limité de polynômes.

[invitee5ee725c]

Bonjour!
Je suis actuellement L1 Sciences de la Matière et nous sommes en train d'étudier les DL.
Pour tout ce qui est calcul sur les DL du type: sin(x), cos(x), Ln(1+x) etc, ça ne me pose pas de problème.
Là où je bloque c'est quand on me demande par exemple:
"Donner le DL à l'ordre 2 de la fonction (x+1)/(x²+2x+2) au voisinage de 0"
En effet, si j'ai bien compris (enfin, apparemment non ), un DL permet de poser une fonction "complexe" sous forme de polynôme (qui sera plus précis plus il sera développé). Or ici, ce sont déjà des polynômes. J'ai alors essayé d'utiliser la formule de Taylor Young sur le numérateur, puis sur le dénominateur, mais forcément cela me donne exactement la même chose.
Pourriez-vous s'il vous plaît m'expliquer, dans ce cas, qu'elle est la marche à suivre?
Merci d'avance!
EO.
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[Médiat]

Bonjour,

Un quotient de polynomes n'est pas un polynome, par exemple, au voisinage de 0 : 1/(1-x) = 1 + x + x² + o(x²)

[invitee5ee725c]

Autant pour moi.
Mais je ne vois toujours pas comment trouver le DL2(0) de ce quotient de polynômes.

[Médiat]

Vous pouvez faire les calculs en utilisant Taylor, ou en appliquant les règles de calcul sur les DL, puisque un polynome est son propre DL.

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Je crois que le mieux est d'illustrer le processus sur votre exemple.

avec qui tend vers 0 en même temps que .

Or .
Il ne reste plus qu'à multiplier par (et diviser par 2).

En fait, c'est bêtement calculatoire, de la même façon qu'est bêtement calculatoire le calcul du DL en 0 de , pour reprendre la composition de deux DL que vous connaissez.