Equation différentielle: prouver l'existence d'une solution globale unique

[sylvain6120]

Bonjour,

Je bloque un peu sur un exercice où il m'est demandé de prouver que l'équation différentielle u'(t)=-t*u(t)⁵ avec u(t): [0,∞[ -> R possède une solution globale unique.
Il faut donc prouver qu'il existe un foncton l:[0,∞[ -> R continue tq (f(x,t)-f(y,t))(x-y)<=l(t)(x-y)², pour tout x,y appartiennent à R, pour tout t appartient [0,∞[ .
Et c'est là que je bloque.

Merci de votre aide.

Sylvain6120

[SyTeK]

Bonjour sylvain6120,
J'ignore complètement si il faut procéder ainsi, mais moi j'ai utilisé la méthode des variables séparables pour résoudre cette équation non linéaire du premier ordre.
Cela ne suffit pas à démontrer l'unicité mais ça peut sans doute aider de passer par cette méthode classique.

Amicalement SyTeK

[NicoEnac]

Bonjour,

Pour tout t tel que u(t) est différent de 0, l'équation différentielle est équivalente à :


Dans le membre de gauche, on reconnait une dérivée remarquable. Il suffit d'intégrer de part et d'autre et ne pas oublier la constante d'intégration.

[sylvain6120]

Je sais comment trouver la solution globale unique de cette équation différentielle (d'ailleurs c'est: u(t)=(2t²+1)^-1/4 ).
J'aimerais prouver que cette solution est une solution globale unique. Pour ce faire, il n'y a pas besoin de trouver cette solution, mais on peut dire qu'il en existe une en utilisant le théorème que j'ai énoncé ci-dessus.
Cependant, je n'y arrive pas pour ce problème.

[Tryss]

Le théorème fondamental pour les équations différentielles ordinaires est le théorème de Cauchy-Lipschitz :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...uchy-Lipschitz

Ici la fonction f(t,u) = t*u^5 est clairement localement lipschitzienne (sa dérivée est bornée sur tout intervalle borné), donc le théorème s'applique et on est heureux