Intégration dans le plan complexe – Résidus

[breukin]

Ce passage est étrange… J'imagine que vous savez comment calculer () en intégrant () sur un contour comprenant l'axe réel, un demi-cercle de rayon nul autour de l'origine et un demi-cercle de rayon infini centré également sur l'origine. Bon bah là moi c'est un peu pareil

Non, je ne sais pas intégrer cela, parce que cela n'a aucun sens.
On peut intégrer sur un contour allant de à , puis continuant sur un demi-cercle de rayon parcouru dans le sens indirect, puis allant de à , puis se terminant pas un demi-cercle de rayon à parcouru dans le sens direct.
Et là, ça a du sens.
Un contour est borné. Sinon, ce n'est qu'un chemin d'intégration.

C'est ce que je voulais dire

Et bien c'est raté.
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[coussin]

Bonjour,

Une dernière question… Après j'arrête, j'vous jure

J'ai ma fonction f(z) qui a une singularité sur l'axe réel. Mais il y a une coupure qui passe justement sur l'axe réel. Donc, et corrigez-moi si je me trompe, ma fonction n'est pas méromorphe au voisinage de la singularité, je ne peux pas définir de Série de Laurent (à cause de la coupure…).
Néanmoins, je veux intégrer ma fonction sur un contour entourant la singularité. Donc là, j'ai pas d'autres choix que de faire ça numériquement… Parce que tous les théorèmes genre résidus, etc ne sont pas applicable… Correct ?

Merci d'avance

[breukin]

Exact, vous pouvez toujours faire une intégration sur un chemin quelconque, dès lors que l'intégrale y est convergente (vous pouvez même faire passer le chemin par la singularité, si cette dernière conduit à une intégrale généralisée convergente).

Bref, vous calculez tout comme vous calculez , la fonction pouvant tendre vers l'infini au voisinage d'un point de I laissant malgré tout un sens à l'intégrale.

[coussin]

D'accord, merci
Dans mon cas, je calcule numériquement une valeur qui coïncide avec le résidu, et ce relativement (aux bruits numériques près) indépendamment du rayon de mon contour ! Est-ce juste une coïncidence ? (j'intègre en fait le long d'un demi-cercle dans le demi-plan supérieur. Mon contour d'intégration ne « traverse » pas la coupure en fait, c'est peut-être pour ça que ça coïncide avec le résidu…)

Merci d'avance

[breukin]

Mais la fonction, c'est quoi, localement à la singularité ?
Par exemple, si la singularité est le nombre complexe , que vaut , en exprimant soit sous la forme , soit sous la forme , ce qui conduit à exprimer la fonction soit selon et , soit selon et .

Exemple :
Fonction avec une singularité en 0. Sur un demi-cercle supérieur C parcouru dans le sens direct :

qui dépend de

[coussin]

Mais la fonction, c'est quoi, localement à la singularité ?

Hmmm, c'est assez compliqué
Mais elle est comme ça :

La singularité est en pour lequel .
est en fait réel. La constante est imaginaire pur. est réel. La coupure de la racine carrée est pour et donc la coupure passe sur la singularité.
Si c'est utile, à cause de la coupure les contours d'iso-module de f(z) au voisinage de z0 ne sont pas des cercles centrés en z0 (si vous voyez ce que je veux dire… f(z) « diverge différemment » selon la direction par laquelle on s'approche de z0).

Merci d'avance

[breukin]

Je pense que c'est votre coupure qui n'est pas la bonne.
Car la fonction est parfaitement définie sur l'axe réel > k et dans son voisinage, avec un pôle d'ordre 1 en z₀.
Ce qui explique que vos intégrales calculées ne dépendent pas du rayon du petit cercle autour.
Je pense qu'une bonne coupure, c'est le segment [-k, k] , à moins que ce ne soit le demi-axe réel <k.

[coussin]

Je n'ai pas le choix pour la coupure, elle est fixée comme ça par des conditions physiques de causalité.
La coupure [-k,k] est la branche principale avec -π<arg(z)<π (coupure sur R-) mais je dois utiliser une coupure sur R+ correspondant à 0<arg(z)<2π.

[breukin]

Je n'ai pas le choix pour la coupure, elle est fixée comme ça par des conditions physiques de causalité

Difficile de répondre sans connaître le problème, mais je suis prêt à parier que vous faites une erreur de raisonnement physique.

Ensuite, votre coupure que vous avez décrite n'est pas 0<arg(z)<2pi.

[coussin]

Je dois avoir ce qui me fixe la coupure comme je l'ai décrite. Je ne pense pas avoir fait d'erreur, cette coupure correspond à arg(z^2-k^2)=0 qui est bien Re(z)>+k et Re(z)<-k.

[coussin]

Peu importe la coupure d'ailleurs : ce que je ne vous ai pas dit c'est que j'ai également une singularité compris entre 0 et +k Si je déplace ma coupure en [-k,k], je déplace le problème à cette singularité.

[breukin]

Votre "je dois avoir" semble avoir un problème Latex ?
C'est quoi, la puissance ^* que je vois dans le mail d'avis de réponse ?

\left( \sqrt{z^2-k^2}\right)^{*}=-\sqrt{(-z)^{*2}-k^2} => bizarre comme code latex

[coussin]

Oui, j'ai fait planter le LaTeX
Bah ^* c'est le conjugué.

[breukin]

réécrivez là avec z* pour le conjugé (pourquoi mettre une puissance ^ ?)

ah si, au bout d'un certain temps ça vient...

Votre égalité n'a peu de sens, parce que n'est lui-même pas monovalué !

[breukin]

Prenez z=0 qui est hors votre coupure et k=1
Que peut bien vouloir dire ?
Tout sauf .
Parce que n'existe pas. Seul i existe.
Vous êtes en train de vous faire piéger par des notations illégitimes.

Il faut partir d'un endroit où la notation a un sens, par exemple sur un domaine réel x>k, puis l'étendre par analycité.
Vos conditions prétendument physiques n'ont pas de sens.

[breukin]

En plus, une équation ou relation ne fixe pas une coupure, elle fixe des racines à l'équation (des valeurs de z vérifiant la relation) !

[coussin]

Prenez des nombres complexes z quelconques (et un réel k). Calculez (sqrt(z^2-k^2))*. Calculez (-sqrt((-z*)^2-k^2)) et demandez-vous comment définir votre racine carrée pour que les deux coïncident. Vous verrez que le seul choix est 0<=arg(sqrt(z))<π.

[breukin]

Comment calculez-vous sqrt(z^2-k^2) qui n'existe pas, sauf pour z réel > k ou < -k.
Ou plus exactement qui a deux valeurs : laquelle prendre ?

[breukin]

Au fait, votre équation, c'est quoi, c'est le lieu des points de la coupure ?
Ce que je ne comprends pas, c'est comment vous déterminer qu'une coupure doit vérifier une relation ?
C'est la fonction que l'on veut calculer qui définit la (ou une) coupure !
Si on sait que la fonction doit être continue dans les complexes autour de 1, alors on peut prrendre une coupure qui ne passe pas par 1, par exemple les réels négatifs.
Mais si on sait qu'elle doit être continue autour de -1, alors on peut prendre les réels positifs.

Bref, je ne crois absolument pas à vos conditions physiques qui prédétermineraient la coupure.
Votre fonction, si elle doit physiquement avoir du sens autour de z0, alors votre coupure doit être du type comme je vous l'ai indiqué.

Je ne dis pas que j'ai raison, mais ici, il faudrait exposer le vrai problème, pour comprendre ce qui est calculé.

[coussin]

Ou plus exactement qui a deux valeurs : laquelle prendre ?

C'est tout le but de la coupure. Une fois que vous avez fixé 0<=arg(sqrt(z))<π, votre racine carrée est monovaluée. C'est le choix d'une coupure quoi…

[coussin]

La coupure [-k,k] que vous proposez correspond à -π/2<arg(sqrt(z))<+π/2. Il y a en effet une infinité de choix de coupure correspondant à l'infinité d'intervalle de longueur π dans lequel vous contraignez l'argument de la racine et qui la rende ainsi monovaluée. Parmi cette infinité de coupure possible, la relation (de causalité) que j'ai indiqué plus haut m'en fixe une seule.
(entre parenthèse, la coupure [-k,k] possède également une coupure qui court sur l'axe imaginaire pur. Ça m'arrange pas non plus parce que j'ai d'autres pôles sur l'axe imaginaire pur )

[breukin]

La nuit ayant passé, j'ai enfin compris ce que vous vouliez dire :

Quelle représentation de la racine doit-on prendre, donc quelle coupure doit-on prendre pour la racine(entre le demi-axe réel positif et le demi-axe réel négatif -ou encore une autre d'ailleurs-) pour qu'on ait la relation :

Notez que le moins ne sert à rien, puisque .
Alors effectivement, il faut prendre la représenration ayant une coupure sur le demi-axe réel positif, et valant (par exemple).
Et alors la fonction est définie dans le plan coupé des deux demi-axes positif et négatifs débutant respectivement de et .

Ouf !

[coussin]

Notez que le moins ne sert à rien, puisque .

Effectivement car j'ai pris un raccourci : la relation de causalité cité doit être vérifié par f(z) en fait et f(z) ne dépend pas que de z^2

Je peux en dire un peu plus sur pourquoi j'ai tout ces problèmes Ma fonction f(z) dépend d'un paramètre, appelons-le g. Pour g>0, f(z) est causale ce qui se traduit par le fait que tout ses pôles sont dans le demi-plan complexe inférieur. Il n'y a alors aucun problème particulier… Pour g=0, f(z) n'est plus causale. Cela se traduit par le fait que ses pôles sont maintenant sur l'axe réel et c'est le cas que je regarde ici. J'essaye (tant bien que mal ) d'étendre un raisonnement basé sur une condition de causalité à une fonction non causale. C'est pourquoi c'est un peu serré aux entournures

Merci de vos messages en tout cas