quelque'un peut m'aider a resoudre ces exercices svp :
ex1:
trouver une bijection de [O,1] vers ]0,1[
ex2
soit f:N vers N , injective Un=f(n)
1) Mq f(n) tends vers + infini lorsque n tends vers + inifini
2) Mq La somme de k= 1 jusqua n de f(k)/k² tends vers + l'infini
Bonsoir.
Pour le premier exercice, la question est de savoir quelles images on prend pour 0 et 1. Bien entendu, il ne faut pas espérer une bijection continue. Essaie de voir déjà si une fonction continue par morceaux pourrit convenir.
Pour le deuxième, qu'impose l'injectivité pour l'image de [0; n] ? Puis considère un entier N et regarde ce qui se passe pour les éléments de [0, N] qui sont des images par f. je n'en dis pas plus, tu dois toi aussi réfléchir (si tu veux faire d'autres exercices de colle, inconnus encore).
Cordialement.
Pour la première partie du 2, il peut être utile de se souvenir du fameux "principe des tiroirs"...
Un petit up sur ce post. Je pense que son auteur(e) est déjà passée à autre chose.
La deuxième question de l'exo 2 ne m'a pas semblé évidente. J'ai trouvé une solution rapide mais qui passe par la transformation d'Abel. Y a t il une solution simple qui m'a échappé ?
On doit également pouvoir raisonner ainsi :
Notonsl'ensemble des fonctions
Le cas n=1 est immédiat. Supposons que ce soit vrai au rang n et donnons-nous
Cas 1 :
Cas 2 :
En particulier, on retrouve l'intuition selon laquelle la converge est la "moins rapide" pour
If your method does not solve the problem, change the problem.
Voici mon raisonnement : tout d'abord je remarque que la somme de 0 à n de f(k) est nécessairement supérieure ou égale à n(n+1)/2. En effet il y a n+1 éléments à prendre, tous différents. Leur valeur la plus basse est 0,1,2....n.
Si j'appelle F(n) la somme obtenue, j'ai donc :
Je cherche à évaluer
J'utilise la minoration vue plus haut, et
Le premier terme tend vers 1/2, et le deuxième (dans la somme) est équivalent à 1/n d'où la divergence
Enfin bon pour ceux qui auront pris la peine de lire, il faut bien sur partir de k=1....
Bonjour
Pour la question 1 :
1) Vous définissez une bijection f de IN dans IN -{0, 1} (facile)
2) Vous posez g(x) = x si (x n'est pas de la forme 1/p pour p entier, et x diférent de 0)
3) Vous posez g(0) = 1/f(0)
4) g(1) = 1/f(1)
5) g(1/p) = ??? pour p ???
Je vous laisse trouver le dernier point, et démontrer que c'est bien une bijection.
Dernière modification par Médiat ; 27/11/2012 à 04h32.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Salut,
Intuitivement, il semble que dans l'exercice 2, on a, pour
Cordialement
Bonjour,
puisque chacun donne sa version, à mon tour.
Ex 1 :
f(x)=x si x irrationnel
f(x)=...si x rationnel et pour ce dernier cas, je te conseille de considérer (rn)n la suite des rationnels de [0;1].
Ex2 :
1) Comme il l'a si bien été dit, principe des balles dans les tiroirs.
2) Tu peux considérer par exemple une tranche comprise entre N et 2N+1. Dans ce cas, tu auras forcément un n0 tel que f(n0)>=N.
Cela ne serait vrai que si f était croissante. Pour un contre-exemple, tu peux prendre f telle que f(n)=n+1 si n est impair et f(n)=n-1 si n est pair.Envoyé par taladris
Intuitivement, il semble que dans l'exercice 2, on a, pour
Il est effectivement très simple de montrer que
If your method does not solve the problem, change the problem.
Merci!
Il est effectivement très simple de montrer que
Quant a l'exo 1, on peut supposer r0=0 et r1=1. Donc il suffit de poser f(rn)=rn+2.
