fonction composée fof-2f+ id=0 étude

[Zabour]

Bonjour,

Quand il s'agit de démontrer une bijection avec des fonctions déterminés par des x j'arrive.
Mais là on me donne une fonction f sans x, dans une équation, où il faut que je prouve que c'est une bijection. Et là je m'y pers. Comment montrer d'abord que c'est une injection, puis une surjection?
Et après encore croissant et pas décroissant?

Voici l'énoncé:
On considère la fonction f, continue de R dans R ( bon là on sait qu' elle est continue sur un intervalle donné, il ne reste plus qu'à montrer qu'elle est monotone sur l'intervalle), satisfaisant l'équation c'est là que ça devient extra compliqué): fof-2f+id=0 avec id la fonction à qui x associe x

La première fois que je tombe sur une fonction composé uniquement de fonctions, et partout la même f. Comment faut-il faire avec ce truc?

a) Montrer que f est une bijection (alors moi jai pensé que le id dans l'équation suffisait à prouver que c'est une bijection car si f est solution de l'équation f-1of=id et d'après le théorème ça revient à dire que f est bijective, et la composée de la fonction et sa réciproque donne une identité)

ou alors on part de y=f(x) pour arriver à x= f(y) et si on arrive alors on a une bijection.
on a f(f(x))-2f(x) + x (car id à qui x associe x)= 0
D'où x= 2y-f(y)
mais ça faut montrer que ça marche or on a ni la valeur de x ni celle de y ni aucun outil pour calculer f(y).

b) Montrer que f n'est pas décroissante sur R.
(là j'ai utilisé le raisonnement par l'absurde.
si f est décroissante alors fof est croissante et - fof est décroissante.
on sait que id est croissante alors on pose l'égalité fof-2f+ id=O
id= 2f-fof
Une fonction croissante doit être égale à une fonction croissante.
-fof décroissante et 2f décroissante.
L'égalité ne marche pas, donc f est forcément croissante.)

c)Montrer que f est croissante sur R
(Or on a du démontrer que f est bijective. Une fonction bijective est strictement monotone et continue sur son intervalle. ici f n'est pas décroissante, donc elle est croissante sur R.)

d)Montrer que quelque soit n appartenant à Z, f^n(0)= nf(0)
Plus généralement montrer que pour tout x appartenant à R, on peut trouver un réel t, dépendant à priori de x, tel que pour tout entier relatif n, f^n(x)= x+nt t est indépendant de n

donc il faut montrer que f(f(f(f(f(f(0)=6f(0) j'ai pris un nombre au hasard.
Pour n= 1 on a f(0)= f(0)
donc pour n= 1 ça marche.
Supposons que la proposition est vraie pour tout n.
Maintenant démontrons que cest vrai pour tout n+1.
f^(n+1) f(0)= n+1 f(0)
f^(n)f(0) *f(0)= n f(0) + f(0)
or f(0)= f(0) et f^nf(0)= nf(0)
donc d'près le raisonnement par récurrence f^n(0)= nf(0).Maintenant il s'agit de montrer que f^n(x)= x+nt t est indépendant de n est vrai.
On sait que f^n(0)= nf(0).
Pour x=0 on a f^n(0)= nt

pour n=1 f(x)=x+ t
on suppose que la proposition est vrai pour tout n.
on montre que c'est vrai pour tout n+1
f^(n+1) (x)= x + (n+1) t
f^n(x)*f(x)= x+ nt + t
or f(x)= x+t
et là est-ce que j'ai le droit de dire que f^n(x)= nt car là ça prouverait que t ne dépend pas de x et on rejoindrait la question d.
ah la je suis perdu je ne sais plus quoi faire.


d) Déduire de la croissance de f et de ce qui précède que f est une translation c'est à dire que t ne dépend pas de x.

Salut à tous, et merci d'avance pour votre aide
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, attention si es bijective, il n'y a aucune raison que implique ... justement il faudrait trouver une application qui satisfasse .

Tu as donc tu as , on écrit ceci te donne alors , tu peux alors factoriser par à gauche c'est à dire . Il te reste à montrer que , c'est sensiblement pareil.

[PlaneteF]

, tu peux alors factoriser par à gauche c'est à dire

Bonsoir,

Bah tiens justement, cela amène à la question que je me posais à l'instant à propos de cet énoncé qui à aucun endroit ne précise que f est linéaire ?!

[RoBeRTo-BeNDeR]

Oh oui la bourde, si n'est pas supposée linéaire tu ne peux sûrement pas factoriser comme ceci, par contre reste vrai.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Oh oui la bourde, si n'est pas supposée linéaire tu ne peux sûrement pas factoriser comme ceci, par contre reste vrai.

Mais en quoi cela nous mènerait à la bijectivité de f ?

[RoBeRTo-BeNDeR]

On a ce qui impose que est injective. Mais il est clair qu'en aucun cas cela implique surjective.

[PlaneteF]

On a ce qui impose que est injective. Mais il est clair qu'en aucun cas cela implique surjective.

Oui ... et l'énoncé de Zabour demande de démontrer que f est bijective

[RoBeRTo-BeNDeR]

On a donc est injective et est surjective. Seulement on nous donne la continuité de donc si par exemple on peut montrer que est ni majoré, ni minoré pour alors on aura prouvé que est alors surjective, mais là... je ne vois pas.

[ericcc]

Il est plutôt facile de montrer que f n'est pas bornée : supposons que l'on ait pour tout x m<f(x)<M, les inégalités étant prises au sens large.
On a donc 2m-x < 2f(x)-x < 2M-x...comme fof(x)=2f(x)-x, et que l'on a également m<fof(x)<M
On en tire deux inégalités :
2m-x<fof(x)<M et donc pour tout x 2m-x<M
m<fof(x)<2M-x et donc pour tout x m<2M-x

En faisant tendre x vers + ou - infini on arrive à la conclusion que m=-inf et M=+inf

Comme l'image d'un segment par une application continue est un segment, on en déduit que l'image de IR par f est IR. L'application est surjective.

L'injectivité est facile : si f(x)=f(y) alors f(f(x)=f(f(y) et on en déduit x=y.

Pour la question d) tu ne démontres pas ce que l'on te demande. La notation fⁿ est la fonction f itérée n fois : fofof......of

[invite76543456789]

On a ce qui impose que est injective. Mais il est clair qu'en aucun cas cela implique surjective.

Dans l''énoncé f n'est pas supposé linéaire, mais pour répondre a cette question précise... il parait que deux polynomes en f, ca commute toujours!

[RoBeRTo-BeNDeR]

MissPacMan, deux polynômes en commutent toujours si est linéaire. Par exemple avec , on n'a pas sinon serait égal à pour x=4. Ce qui me semble peu égal...

[invite76543456789]

C'est bien pour ca que j'avais precisé que f n'est pas supposé linéaire dans l'énoncé, mais que comme planeteF et vous sembliez reflechir au cas linéaire, puisque vous utilisiez la factorisation f(f-1), dans le cas linéaire cette factorisation resoud l'injectivité ET la surjectivité.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Reprenons , l'énoncé ne suppose en aucun cas f linéaire, il est clair que si f est linéaire, la question devient triviale. Mais vous dites

Dans l''énoncé f n'est pas supposé linéaire, mais pour répondre a cette question précise... il parait que deux polynômes en f, ça commute toujours!

ce à quoi je vous ai montré un contre exemple, hormis si j'ai mal saisi le sens de votre phrase, j'ai compris que pour vous quel que soit f, tout couple de polynôme en f commutent.

J'avais précisé que ici l'injectivité était triviale, mais pas la surjectivité, mais comme f est continue, il suffisait de montrer que f n'était pas borné et le tour est joué, ce que ericcc à fait.

Enfin depuis le début, Zabour n'a pas montré le bout de son nez...

[PlaneteF]

(..) mais que comme planeteF et vous sembliez reflechir au cas linéaire (...)

Non, ... c'était justement le contraire

[invite76543456789]

Vous utilisez la factorisation f²-2f=fo(f-2) dans votre message, c'est donc que vous supposez f linéaire... sinon cette factorisation ne marche pas.

J'ai jamais dit que tous polynomes en une application commutait, ce que j'ai dit c'est que vu que vous sembliez supposer f linéaire puisque vous utilisez f(f-2)=f²-2f, il n'y a pas de raison de buter sur le surjectivité, elle est automatique dans ce cas là.

Relisez vous

On a donc f est injective et -f+2Id est surjective. Seulement on nous donne la continuité de f donc si par exemple on peut montrer que f est ni majoré, ni minoré pour f alors on aura prouvé que f est alors surjective, mais là... je ne vois pas.

Si vous vous autorisez la factorisation, c'est que f est linéaire et donc tous polynomes en f commutent et la surjectivité tombe immédiatement.

[PlaneteF]

Vous utilisez la factorisation f²-2f=fo(f-2) dans votre message, c'est donc que vous supposez f linéaire... sinon cette factorisation ne marche pas.

Même chose dite dans le message#3

[invite76543456789]

Ah ok, en fait en relisant, je m'apercois que j'ai mal lu... désolé, my bad!
(J'avais vu que vous aviez tilté que la factorisation imposait f linéaire, et j'avais cru bêtement que du coup vous vous étiez placé dans ce cadre, autant pour moi).

[PlaneteF]

(...) autant pour moi

Je sais qu'il y a débat sémantique et orthographique sur le sujet, mais personnellement je préfère "Aux temps pour moi"

[ericcc]

Maintenant que vous avez fini votre numéro de Dupond/Dupont on peut faire des maths ou bien ?

Je trouve ce problème rigolo. Par contre on n'entend plus parler de l'auteur(e) du fil ?

Pour la suite voici ce que je propose.

Je pose g(x)=f(x)-x, on voit que g(f(x))=g(x). Donc g(fⁿ(x))=g(x).

A x donné, la suite Un(x)=fⁿ(x)-f^n-1(x) est donc constante. f est une suite arithmétique de raison que l'on peut appeler t(x).

On en déduit fⁿ(x)=x+n*t(x)

Reste à montrer que t est indépendant de x...

[indian58]

Je sais qu'il y a débat sémantique et orthographique sur le sujet, mais personnellement je préfère "Aux temps pour moi"

Et moi je prefere "Au temps pour moi".

[PlaneteF]

Et moi je prefere "Au temps pour moi".

Il me semblait avoir déjà vu sur un site traitant ces choses là, l'écriture avec "aux", ... mais c'est vrai qu'en faisant un p'tit tour rapidos sur le net, on ne voit que du "au" ... du coup je sens que je vais l'adopter (à approfondir) ...

[gg0]

Bonjour PlaneteF.

Cette expression viendrait des musiciens (militaires peut-être), et signifie "je ne suis pas dans le rythme, il va falloir redonner le temps (battre la mesure) à cause de moi". Donc "je suis un peu à côté".
Je ne vois pas de signification avec un pluriel "aux".

Cordialement.