Séparation de variable

[Scorp]

Bonjour,

Lorsqu'on étudie de l'acoustique en 2D ou une membrane qui se déforme, on dit souvent :
"On a l'équation (par exemple) et la condition aux limites U(x, y, t)=0. On effectue une séparation des variables telles que U=f(x)g(y)h(t) ...."
Ma question est : pourquoi a-t-on le droit de faire ca ? En ré-injectant on va bien obtenir des solutions. Mais qu'est ce qui nous dit qu'on les aura toutes comme cela ? Je n'arrive pas à trouver quelque chose de claire et carré là dessus...

D'ailleurs, ceci est dû à la "forme" de l'équation : hyperbolique ??? Je suppose qu'il faut aussi que la condition aux limites permettent une telle décomposition, non ?

Merci pour votre aide.
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[Garion5]

Cette méthode c'est juste un petit truc de calcul qui permet de résoudre des EDP simples sur des domaines simples.
On a le droit parce que on fait que des opérations permises :
- Remplacer u(x,y,t) par X(x)Y(y)T(t)
- Diviser chaque membres de l'équation par XYT. C'est permis car on sait déjà que la solution u=0 vérifie l'équation et les conditions limites homogènes, donc on ne perd pas d'information !!! On obtient donc ici T''/ T = c*(X''/X + Y''/Y) = automatiquement une constante. De là on peut continuer en appliquant la méthode de séparation de variables et trouver les solutions.

[Scorp]

Merci mais ma question était plus large que ca : je comprends pourquoi on peut faire ca en ré-injectant et trouver les solutions. OK

... toi tu pars du principe que tu SAIS que la séparation de variables va marcher et donc tu l'appliques. De plus, rien ne te prouve (a priori) que tu n'as pas oublié des solutions au passage qui ne pourrait pas se mettre sous la forme X(x)Y(y)T(t) ... je ne sais pas si tu vois un peu ce que je cherche...

[silk78]

Bonjour,

Tu as raison. Ici faire une séparation des variables réduit la généralité de tes équations. Par exemple, la fonction (x,y,z,t) -> x²+c²t² vérifie ton équation mais ne peut pas être mise sous forme factorisée.
L'intérêt de cette méthode peut par contre être le suivant : l'ensemble des solutions de cette équation est un espace vectoriel. En trouvant une famille de solution (par exemples les solutions séparées), on en trouve énormément en construisant ensuite l'espace vectoriel engendré par ces fonctions. Il est même possible que cette famille forme une base de l'espace total (dans une sens qui reste à définir proprement). Par contre, je ne sais pas exactement ce qu'il en est pour l'équation de la chaleur (si la famille trouvée est une base ou pas).

En espérant avoir été clair,
Silk

[A voir en vidéo sur Futura]

[Scorp]

Oui merci beaucoup Silk, c'est plus claire.
Je suis assez d'accord que le but est de voir l'espace engendré par les solutions de bases qu'on trouve ... mais comme tu dis, ca ne doit pas être évident de prouver que la combinaison linéaire des "solutions à variable séparable" engendre correctement tout mon espace de solution.
C'est pourtant important de savoir si on n'a pas oublié des cas, ca me chagrine beaucoup. Je pense que ca a deja dû être étudié (c'est sûr même), mais je n'arrive juste pas à trouver une étude propre de tout ca.

[Rincevent]

Bonjour

Tu trouveras sûrement des éléments de réponse aux questions que tu te poses dans ce livre mais tu y verras aussi que c'est un sujet riche et compliqué (de recherche actuelle en fait).