Surfaces de Riemann d'une fonction holomorphe

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je suis en train de lire un livre mi-technique, mi-vulgarisation, et la présentation (technique) des surfaces de Riemann associée à une fonction holomorphe me laisse plutôt dans l'expectative...Mon but est simplement d'avoir l'intuition de la construction et de son intérêt. Voici la construction en question :

On note l'ensemble des germes de fonctions holomorphes en un point quelconque du plan complexe, puis pour tout ouvert U et pour toute fonction holomorphe , on note l'ensemble des germes contenant f en un point de U. Les forment alors une topologie sur faisant de une surface de Riemann (à base non nécessairement dénombrable). On définit alors la surface de Riemann d'un germe de fonctions holomorphes f comme la composante connexe de contenant f.

Quelqu'un pourrait-il m'aider à visualiser cette construction ?

Merci d'avance,
Seirios
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[invite76543456789]

Salut,
Chuis pas sur de vraiment comprendre.
L'anneau des germes de fonctions holomorphes en un point du plan complexe (disons 0 quitte a translater) c'est simplement l'anneau des series entières convergentes sur un petit disque autour de zero.
Du coup ton U(U,f) ca va juste etre le germe de f... Et la topologie sur G, la topologie discrete.
Edit: a moins que G ce soit la reunion de tous les germes en tous les point de U?

[Seirios]

C'est effectivement ce que j'entendais en écrivant : est l'ensemble des germes de fonctions holomorphes en un point quelconque du plan complexe. (Le point quelconque n'est donc pas fixé, mais varie sur tout le plan complexe.)

[invite76543456789]

Encore une fois ca me parait pas clair, ce que tu notes f à la fin (dans la composante connexe de cette surface contenant f) c'est U(C,f), non? Sinon que peut etre f dans ce contexte? (ou alors le germe de f en un point arbitraire mais fixé celui là).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Tout à fait, ici f est un germe en un point fixé. En pratique, il semble que l'on prenne une fonction holomorphe puis que l'on considère le germe de f en un point de U que l'on fixe ; la surface de Riemann associée à f est alors la surface de Riemann associée à ce germe.

[invite76543456789]

Edit: reponse avant d'avoir lu le message precedent.

[invite76543456789]

Bon, y a vraiment qqch que je comprends pas (je suis peut etre a coté de la plaque) mais U(U,f) c'est bien l'ensemble des {f_x, x dans U} (f_x désigne le germe de f en x).
Mais du coup je vois pas comment les U(V,f) pour V parcourant les ouverts de C et f les fonctions holomorphes sur ces ouverts est une topologie.
Par exemple U(C,2) union U(C,1)... c'est pas un U de qqch.
Tu prends la topologie engendrée par les U?

[Seirios]

Effectivement, j'ai écrit un peu vite : on prend bien la topologie engendrée par U (où les U ont bien la définition que tu en donnes).

[invite76543456789]

Bon je crois comprendre l'interet de la construction, le plus simple est de regarder ce qui se passe sur un exemple.
UNe precision d'abord:
Si tu t'interesses au germe de f en 0, alors localement sur un petit disque D, f est une somme de a_n z^n, et un systeme fondamental de voisinage pour f_0 la dedans est donné par les U(D_i,f) ou D_i est un disque inclus dans D de rayon qui tend vers 0 quand i tend vers l'infini (ca vient du principe des zeros isolés).
Pour un tel D tu as un homéo local sur C qui donné par exemple par f_x->x

Regardons ce qui se passe par exemple pour le log .
Tu peux regarder le germe du log en 1. Si tu fais le tour du cercle unité "avec des disques" (c'est a dire tu recouvre le cercle de petits disques). Tu peux voir que les germes des fonctions log que tu peux definir vont differer de 2n.i.pi, autrement dit tu auras Z germes possibles differents en un point donné qui seront tous dans la composante connexe de ta determination principale du log et ca te donne le revetement analytique (ramifié) à n feuillets (tu as Z points au dessus d'un point du plan complexe privé de 0 qui correspondent chaqun à la determination du log dans lequel l'argument est donné par l'argument principal +2i.n.pi), que tu veux pour definir le log sur un surface de Riemann (en "parking de voiture").

Autrement dit quand tu as plusieurs determinations holomorphes possibles, tu consitruit une surface qui "déploie" ces determinations, et qui te donne un revetement (possiblement ramifié) sur lequel il n'y a qu'une determination.

[Seirios]

Merci, cela me semble plus clair

Une petite question en passant : il me semble que la surface de Riemann du logarithme complexe, munie de l'exponentielle complexe, forme un revêtement universel de . Y a-t-il un lien étroit entre surfaces de Riemann et revêtements ?

[invite76543456789]

Oui, la surface du log c'est bien le revetement universel de C^*... c'est a dire C.
Ca depend ce que t'appelle Lien entre surface de riemann et revetement, mais l'etdue des revetement des surfaces de Riemann est bien connu. Il y a 3 surface de Riemann simplement connexe, la sphere, C, et le disque (ouvert).
L'etude des revtement ramifiées est plus riche.