Les courbes infiniments symétrique.

[un_homme]

Bonsoir,

Combien y-a-t il de types de courbes du plan réel, infiniment symétrique (càd avec une infinité d'axes de symétrie) ?

Le cercle est un type de courbe infiniment symétrique, mais est ce le seul exemple ?

Cordialement.
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[gg0]

Bonjour.

Il y en a une infinité. Par exemple toutes les courbes des fonctions sinusoïdales ont une infinité d'axes de symétries et une infinité de centres de symétries. De nombreuses fonctions périodiques aussi.

Cordialement.

[martini_bird]

Salut,

et si l'on réclame que le support de la courbe soit borné, le cercle est bien le seul candidat, non ?

Cordialement.

[un_homme]

Salut,

et si l'on réclame que le support de la courbe soit borné, le cercle est bien le seul candidat, non ?

Cordialement.

Salut,

Effectivement j'ai oublié cette hypothèse (borné) car sinon les droites ainsi que les courbes indiqués par Gg0 serait solution.
Quelle serait l'argument qui montrerai que seul le cercle est la bonne courbe cherché ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

Salut,

et si l'on réclame que le support de la courbe soit borné, le cercle est bien le seul candidat, non ?

Cordialement.

Cela dépend de la régularité de la courbe je pense. Il doit exister des courbes fermées à bord nulle part différentiable qui ont un nombre infini dénombrable de symétries. Une fractale - une étoile avec un nombre infini de branches par exemple - devrait convenir.

Cordialement

[gg0]

Bonjour.

Je m'étais volontairement limité à des "courbes" au sens élémentaire. Pour répondre à la nouvelle formulation, il faudrait définir clairement ce que recouvre le mot "courbe". par exemple, de même que la courbe de Peano recouvre entièrement un carré, il est possible (*) qu'une courbe (fonction continue de R dans le plan) recouvre entièrement un disque et ait les mêmes symétries que le cercle.
On peut aussi penser à une épicycloïde qui ne se referme pas, et recouvre presque entièrement une couronne.

Cordialement.

(*) c'est une supposition, pas une affirmation.

[un_homme]

Effectivement vous avez raison, j'ai oublié une hypothèse la courbe est de longueur finie. (courbe : variété de dimension 1 plongé dans un plan)

On peut dire déjà que l'ensemble des axes de symétries se coupe en un point, car si tel n'était pas le cas alors on aurait 3 droites qui formeraient un triangle et par jeu de symétrie on pourrait construire un axe de symétrie de la courbe aussi éloigné que l'on veut d'un point de la courbe choisi prélablement ce qui entrainerait que la courbe ne serait pas borné.

Cordialement.

[taladris]

Salut,

il est possible (*) qu'une courbe (fonction continue de R dans le plan) recouvre entièrement un disque

un carré et un disque fermé étant homéomorphe, cette partie de l'affirmation est vraie.

et ait les mêmes symétries que le cercle.

Si on recouvre tout le disque, alors on aura les mêmes symétries, non?

Effectivement vous avez raison, j'ai oublié une hypothèse la courbe est de longueur finie. (courbe : variété de dimension 1 plongé dans un plan)

En jouant sur la longueur des branches de l'étoile, je pense qu'on peut obtenir une courbe (non lisse) de longueur finie. Quand tu dis "variété", tu parles de variété lisse (C^infini)? Ou juste C^1? Ou de variété topologique?

[un_homme]

Salut,
...En jouant sur la longueur des branches de l'étoile, je pense qu'on peut obtenir une courbe (non lisse) de longueur finie. Quand tu dis "variété", tu parles de variété lisse (C^infini)? Ou juste C^1? Ou de variété topologique?

Salut,

Je pensais à une variété topologique, mais une étoile bornée de longueur finie, n'est elle pas nécessairement un polygône ?

Cordialement.

[Tryss]

Salut,

Je pensais à une variété topologique, mais une étoile bornée de longueur finie, n'est elle pas nécessairement un polygône ?

Cordialement.

Pas nécessairement.

Si tes branches sont en 1/2^n, alors la longueur de la courbe serra finie, mais elle aura un nombre infini de cotés

[un_homme]

Je ne vois pas le genre d'étoile que cela pourrait donné alors ?

[toothpick-charlie]

Si tes branches sont en 1/2^n, alors la longueur de la courbe serra finie, mais elle aura un nombre infini de cotés

si les branches n'ont pas la même longueur, ce n'est pas évident qu'il y ait tant de symétries que ça.

[Tryss]

si les branches n'ont pas la même longueur, ce n'est pas évident qu'il y ait tant de symétries que ça.

Je n'ai pas dit que cette construction avait une infinité d'axes de symétries. Juste que "étoile bornée de longueur finie" n'entraine pas "nombre fini de cotés"

A mon avis, et ça n'est qu'une conjecture, si une courbe C est bornée et possède un nombre infini d'axes de symétrie, alors :
- soit c'est un cercle (ou un point)
- soit il existe un ouvert U tel que est dense dans U (ça entraine en particulier que la longueur de la courbe est infinie)

[un_homme]

Effectivement vous avez raison, j'ai oublié une hypothèse la courbe est de longueur finie. (courbe : variété de dimension 1 plongé dans un plan)

On peut dire déjà que l'ensemble des axes de symétries se coupe en un point, car si tel n'était pas le cas alors on aurait 3 droites qui formeraient un triangle et par jeu de symétrie on pourrait construire un axe de symétrie de la courbe aussi éloigné que l'on veut d'un point de la courbe choisi prélablement ce qui entrainerait que la courbe ne serait pas borné.

Cordialement.

Bonjour,

Voilà où nous en sommes.

Cordialement.

[un_homme]

Pas nécessairement.

Si tes branches sont en 1/2^n, alors la longueur de la courbe serra finie, mais elle aura un nombre infini de cotés

Effectivement, il me semble que tu as raison.