Fonction eulérienne gamma

[Bonnie_-]

Bonjour,

J'ai un gros souci avec le problème suivant : sachant que gamma(1/2) = (pi)^(1/2), trouvez combien vaut F(0) où F (x) = intégrale de 0 à infini de exp(-t²-(x/t)²)dt (x appartenant à R).
Je pensais partir de la définition de la fonction gamma : x -> intégrale de 0 à infini de (t^(x-1).exp (-t) dt
En prenant x =0, gamma (0) = intégrale de 0 à infini de (t)^-1.exp(-t) dt . Malheureusement, je n'arrive pas à calculer cette dernière intégrale et en plus, je ne vois pas comment utiliser gamma (1/2) = (pi)^(1/2) ??
Il paraît que la solution serait F (0) = (1/2) (pi)^(1/2) mais on n'est pas sûr et j'ignore le procédé ...

Quelqu'un aurait-il une idée et pourrait m'aider à résoudre le problème ?
C'est d'autant plus dur pour que c'est le seul exercice dont je dispose sur la fonction gamma (je n'ai aucun corrigé sur ce genre d'ex).

Merci d'avance.
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[invite64f0e913]

Bonjour !

Tout est parfaitement expliqué sur cette page wikipédia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_Gauss

N'oubli pas de dérouler les démonstrations.

[Bonnie_-]

Merci ! En effet, ça répond bien à ma question

Mais j'ai un autre problème quand on demande de déduire de ce résultat la valeur de l'intégrale de 0 à infini de exp (-t²-(1/t)²)dt sachant qu'on donne en plus,
le fait que F(x) = intégrale de 0 à infini de exp (-t²-(x/t)²)dt est telle que sa dérivée F'(x) = - 2 F(x) ??

Et là, je ne trouve pas sur Wiki ce qui pourrait m'aider ...

[invite64f0e913]

F(x) = intégrale de 0 à infini de exp (-t²-(x/t)²)dt est telle que sa dérivée F'(x) = - 2 F(x) ??

Si cette proposition est vrai (tu as bien lu l'énoncé, ça me parait étrange, mais pourquoi pas...), alors tu peux calculer F(x) :

"F'(x) = - 2 F(x)" est une équa. diff d'ordre 1

Du coup tu peux calculer F(1).

Je te conseille tout de même de vérifier que la proposition est vraie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bonnie_-]

Merci !

Pour la proposition, j'ai vérifié qu'elle est vraie : en effet, le critère de Weierstrass permet d'affirmer que l'intégrale est uniformément convergente et on peut donc dériver sous le signe intégrale. On arrive alors bien au résultat (après un changement de variable) : F' = - 2 F.