convergence simple et uniforme

[invite67f80e10]

bonjour,

je considère la suite de fonctions sur R (l'ensemble des réels) suivante :

f_n(x) = (1+tⁿ)/(1+t²)

En étudiant la convergence simple sur R, j'observe que :
Pour t appartient à ]-1,1[, f_n(x) converge simplement vers f₁=1/(1+t²)
Pour t=1, f_n(x) converge simplement vers f₂=2/(1+t²)

ça se complique pour ce qui est de la convergence uniforme :

|f_n-f₁|=|tⁿ/(1+t²)|

Je n'arrive pas à manipuler cette expression de façon à trouver une limite nulle de la borne supérieure lorsque n tend vers l'infinie.

Pouvez vous me donner des éléments me permettant de conclure quant à la convergence uniforme de cette suite de fonctions.

Cordialement

P.S : Que ceux qui donnent des informations erronées ou incompréhensibles s’abstiennent!!!
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[invite67f80e10]

Bon

Je suis arrivé à la conclusion suivante :

Je trouve 1/2. Pour t = 1. la convergence n'est pas uniforme.

Bonne soirée

[gg0]

Bonjour.

Quel mélange :

f_n(x) = (1+tⁿ)/(1+t²)

C'est quoi t ? Et x n'apparaissant pas, c'est une fonction constante ?
Bon soyons sérieux, j'imagine qu'i; s'agit de f_n(t) = (1+tⁿ)/(1+t²)
Ensuite, la convergence simple :
* Sur ]-1;1[, ok !
* En 1, ben ... il n'y a plus de variable t, puisque t est fixé à 1, et f_n(1)=1, suite manifestement convergente

Tu n'a pas traité le cas t=-1. Y a-t-il une raison ?
Et il reste pas mal d'autres réels ...

Cordialement.