Conjecture de Syracuse (nouvelle approche)

[AIB]

Bonjour et bonne lecture,

Résumé :
La suite {M_i} de premier élément M₀=K*2ⁿ-1, où n est un entier positif et K=(2^{3^n}+1)/3ⁿ est un entier impair, est une suite de Syracuse. Cette suite est donc bornée et elle est un majorant de toute suite {N_i} produite par application de l’algorithme de Collatz car n est aussi grand qu’on le veut.
Toute suite {N_i} est donc bornée et, par suite, comporte un cycle.
Soient {Z₀, Z₁, … , Z_n-1} ce cycle de longueur n et Z₀ l’élément minimum.
Selon l’algorithme de Collatz 2ⁱⁿ*Z₀=3*Z_n-1+1 et Z₀ doit vérifier l’égalité :
2^kn*Z₀ = 3ⁿ*Z₀ +3^(n-1) +3^(n-2)*2^k1 +3^(n-3)*2^k2 + … + 3*2^k{n-2} +2^k{n-1} ,
k₁, k₂, ….. , k_n sont des entiers positifs et k_n> … > k₂> k₁> 0 .
Mais le principe de récurrence sur n montre que pour tout n>1 :
2 ^kn*Z₀ > 3ⁿ*Z₀ +3^(n-1) +3^(n-2)*2^k1 +3^(n-3)*2^k2 + … + 3*2^k{n-2} +2^k{n-1} .
Et par suite, l’égalité est vraie seulement pour n=1, soit 2ⁱ¹*Z₀ = 3*Z₀ +1 qui implique Z₀=1 et l’unique cycle {1,4, 2} .

Pour plus de développement :

http://happy-arabia.net/Conjecture d...se Collatz.pdf


http://happy-arabia.net/Conjecture[/url] de Syracuse Collatz.pdf

Cordialement
Ahmed Idrissi Bouyahyaoui
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[Deedee81]

Bonjour,

Cette démonstration est tautologique :

"Cette suite [...] est un majorant de toute suite {Ni} produite par application de l’algorithme de Collatz car n est aussi grand qu’on le veut."

Ceci n'est vrai que si la suite {Ni} est bornée. Sinon c'est faux.

Ensuite on dit :

"Toute suite {Ni} est donc bornée"

La preuve suppose donc ce qu'elle veut démontrer. Elle est donc fausse.

Désolé, ce sera pour une autre fois.

[AIB]

Bonsoir,


Le problème de la majoration est indécidable.

Soit la suite de Syracuse {M_i} majorante, à priori, de toute suite de Collatz {N_i} avec i=0, 1, 2, …. , j

S’il existe toujours un j supérieur à n alors le problème de la majoration de la suite de Collatz {N_i} par la suite de Syracuse {M_i} est indécidable du moins par cette approche.

L’établissement de l’unicité du cycle trivial pour les suites de Collatz bornées demeure valide.

[Deedee81]

Salut,

à priori

C'est là le problème, tu supposes a priori le théorème vrai pour ensuite le démontrer. Ce qui est absurde.

S’il existe toujours un j supérieur à n alors le problème de la majoration de la suite de Collatz {N_i} par la suite de Syracuse {M_i} est indécidable du moins par cette approche.

Il n'est pas prouvé que c'est indécidable. Et "indécidable par cette approche" ça ne veut absolument rien dire.

L’établissement de l’unicité du cycle trivial pour les suites de Collatz bornées demeure valide.

Ca c'est possible, je n'ai pas vérifié.

[A voir en vidéo sur Futura]

[AIB]

Bonjour,

Je rectifie mon pdf (j’espère dans le bon sens) :

Données de l’algorithme de majoration :
{M_i}_n : la suite de Syracuse majorante avec n aussi grand qu’on le veut ;
{N_i} : une suite de Collatz avec i=0, 1, 2, …. , j
Si l’exécution de l’algorithme de majoration est sans fin alors n et j tendent vers l’infini dans l’ordre j>n et, par suite, {N_i} n’est pas bornée.
Donc, le problème de la majoration de {N_i} demeure entier.

[AIB]

Bonjour,

Je donne des précisions qui améliorent la compréhension de l’article :

La suite (M_i)_n de premier élément M₀=K*2ⁿ-1 avec K=(2^{3^n}+1)/3ⁿ est une suite de Syracuse et, par suite, elle est bornée pour tout n.
La suite de Syracuse (M_i)_n de premier élément M₀=K*2ⁿ-1, où n est un entier positif aussi grand qu’on le veut et K=(2^{3^n}+1)/3ⁿ, est un majorant de « l’altitude » de toute suite (N_i) construite suivant l’algorithme de Collatz (suite de Collatz) avec i=0, 1, 2, …. , j.
S’il existe toujours un j supérieur à tout n alors n ne peut être un majorant de la « longitude » j de la suite (N_i) bornée en « altitude » car les éléments N_j appartiennent alors à un cycle et j peut être aussi grand qu’on le veut.

http://happy-arabia.net/Conjecture-d...se-Collatz.pdf

Cordialement
Ahmed Idrissi Bouyahyaoui