Produit scalaire

[invitee0960580]

Bonjour à tous,

Pourquoi faut-il être dans une base orthonormée pour que le produit scalaire de 2 vecteurs (a et b) puisse s'écrire a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ?
Pourquoi c'est faux dans une base normée?


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[inviteaf1870ed]

Si les vecteurs de la base ne sont pas orthogonaux, leur produit 2 à 2 ne sera pas nul. Tout simplement...

Par exemple en dimension 2, soit e1 et e2 deux vecteurs de base, chacun de norme 1. Et a=a1e1+a2e2, b=b1e1+b2e2.
Le produit scalaire a.b=a1b1||e1||+a2b2||e2||+(a1b2+a2b1)e1.e2 c'est le Théorème d'Al Kashi

[gg0]

Mettre les normes au carré.

Cordialement.

[inviteaf1870ed]

Oui j'ai tapé trop vite...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Si je ne me trompe pas, matriciellement, un produit scalaire de deux vecteurs a et b dans une base quelconque e1, e2 s'écrit:



Dans ce cas on retrouve la formule d'Al-Kashi d'ericcc. Si la base est orthonormée, la matrice 2x2 est la matrice identitée, et on retrouve le produit scalaire euclidien habituel.