partie majorée

[andromedae]

bonsoir;
j ai un petit problème concernant un exercice sur les parties ouvertes et fermées de lR voici l énoncé:

soit A une partie non vide de lR tel que A soit a la fois ouverte et fermée

-Montrer que A n'est pas majorée.

-Montrer que tout intervalle ouvert de lR est une partie ouverte de lR

-que dire de la réciproque?

J'aimerai bien que vous me donnez un coup de pouce !

Mercii de me répondre
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[Seirios]

Bonsoir,

1) Si A est majoré, tu peux montrer que A admet un maximum a. Mais A est ouvert, donc a devrait être dans l'intérieur de A ; est-ce le cas ?

2) Il suffit d'écrire les choses : tu prends un intervalle ]a,b[ et un élément x dans cet intervalle ; peux-tu trouver un tel que ?

3) Pour trouver un ouvert qui n'est pas un intervalle, tu peux te rappeler qu'une union d'ouverts est ouverte.

[gg0]

Bonsoir.

Ce doit être des applications de propriétés de ton cours.

-Montrer que A n'est pas majorée. Si A est majorée, elle a un sup. En utilisant une suite d'éléments de A, tu peux prouver que le sup est dans A, puis qu'elle n'est pas ouverte (voisinage du sup). Ensuite, on contrapose.

-Montrer que tout intervalle ouvert de lR est une partie ouverte de lR
Regarde les voisinages des éléments de l'intervalle ouvert. Tu devrais bien en trouver un qui est contenu dans l'intervalle (fais un dessin si nécessaire).


-que dire de la réciproque? Cherche un peu ... c'est très facile.

Cordialement.

NB : la seule partie non vide de R qui soit à la fois ouverte et fermée, c'est R. On dit que R est connexe.

NBB : J'ai écrit ce message pendant que Seirios publiait le sien.

[andromedae]

merci à vous ! j ai touvé la solution

cependant j'hèsite sur epsilon dans la 2éme question, j'ai pris epsilon=min((b-x)mod 2,(x-a)mod2)

est ce que c'est correcte ??
Merci de me répondre

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pourquoi "mod 2" ?????

[andromedae]

vous avez une proposition svp ??

[gg0]

Oui : Eviter d'écrire des notations qui n'ont rien à faire ici (mod 2). Tu y étais presque !

Cordialement.