Dérivée quatrième

[Floria]

Bonjour bonjour!
J'ai un exercice assez simple à faire, mais qui nécessite la dérivée quatrième d'une fonction (relativement simple elle aussi, mais de dérivées en dérivées, ça se complique...).
Voici la dite fonction:

Personnellement, je fais ça comme une dérivée de u/v, avec
Alors pour la première dérivée, ça va, pour la deuxième déjà ça se complique, mais pour la troisième ça devient relativement énorme...

Sachant que j'en ai besoin juste pour exprimer un DL, donc j'ai besoin uniquement de la dérivée en 0, n'y a t-il pas un moyen plus simple de calculer tout ça??

Merci d'avance pour votre aide
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[gg0]

Bonjour.

En faisant la division des polynômes, tu devrais trouver une forme qui simplifie au moins les premières dérivées.

Cordialement.

[Floria]

Bonjour,

Que veux-tu dire par "en faisant la fraction des polynômes"?

en simplifiant la fraction, je trouve , ce qui simplifie la première dérivée, mais pas les suivantes.
Je trouve et là j'arrive pas à simplifier

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonsoir, je pense que gg0 parlait plutôt de réduction en éléments simples, on a donc tu as une égalité du genre , il suffit de déterminer a et b.

RoBeRTo

[A voir en vidéo sur Futura]

[Floria]

ok, alors comme ça je trouve et
Sauf que du coup j'ai

En quoi est-ce que c'est plus simple? ça me paraît nettement plus compliqué à dériver....

[0577]

Bonsoir,

les DL sont justement une facon efficace de calculer des derivees en un point
sans avoir a calculer les fonctions derivees. Ici, il suffit de connaitre le DL en 0
de 1/(1+u)

[Floria]

Aaaaah!
ça m'énerve.

en utilisant le Dl de 1/1+u à l'ordre 1, j'ai f(x)=(1-x-x²)²
Ce qui est effectivement bien simplifié, et le calcul des dérivées est considérablement plus simple.

Cependant (et c'est là que ça m'énerve), je devrais avoir les mêmes valeurs en 0 qu'avec la dérivée exactes, non? puisque le but d'un DL c'est justement d'approcher une fonction en 0....
Alors que là, pour la première dérivée, ça marche bien, mais pour la seconde (que j'avais eu le courage de calculer) ça ne marche plus. Avec la dérivée exacte, j'ai f''(0)=8, en utilisant le DL j'ai f''(0)=6

Bref, je déprime....
Au point ou j'en suis, j'ai même appliqué le DL à la formule que j'ai obtenue pour la première dérivée exacte; et là je trouve f''(0)=8
Dois-je en déduire que le DL n'est utilisable que pour la première dérivation??

j'avoue que je suis perdue
Et dire que cet exercice me semblait simple....

[RoBeRTo-BeNDeR]

Pour la réduction en élément simple par de ta forme développée que tu as trouvée dans le #3, tu as donc tu trouves on trouve et donc si il n'y a pas d'erreur .

Ca ne devrait plus poser de problèmes.

[gg0]

en utilisant le Dl de 1/1+u à l'ordre 1, j'ai f(x)=(1-x-x²)²

tu crois vraiment que f(x) est ça ??? Tu crois aux miracles ?

Le DL de f(x) en 0 se fait par division par puissances croissantes, puisque tu as au numérateur et au dénominateur des DL d'ordre 4 (en fait 2 ou plus) avec un o(x) nul.

Sinon, "en utilisant le Dl de 1/1+u à l'ordre 1 tu n'auras pas le terme d'ordre 4, et comme ton u est équivalent à x, il faut aller jusqu'à l'ordre 4. C'est nettement plus compliqué que la division.

Cordialement.

[Floria]

euh....si?
En fait, je vois pas du tout comment cette expression de f peut permettre un calcul simplifié des dérivées.

[gg0]

souvent négatif

f(x)=(1-x-x²)² toujours positif

Et ça serait égal ?

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, la dérivée n-ème de par rapport à est , le calcul est fini...

[Floria]

ben vu que ça vient d'un DL en 0, je dirais plutôt que c'est équivalent quand x->0. Et comme il n'y a que le point x=0 qui m'intéresse, ça me va. Enfin, ça m'irait si ça concordait avec les valeurs que j'obtiens en faisant les vraies dérivées, ce qui n'est pas le cas, et je ne comprends pas pourquoi.

Roberto, merci pour ton aide, mais je vois vraiment pas d'où vient cette dérivée...ça me permet effectivement de finir l'exercice, mais j'aimerais bien comprendre tout ce que j'utilise^^

[0577]

Bonjour,

[Floria]

D'accord, mais ce que je ne comprends pas c'est pourquoi il faut aller jusqu'à l'ordre 4. comment on qait à quel ordre on peut s'arreter dans un DL?

[gg0]

ce que je ne comprends pas c'est pourquoi il faut aller jusqu'à l'ordre 4

J'ai un exercice assez simple à faire, mais qui nécessite la dérivée quatrième d'une fonction
...
Sachant que j'en ai besoin juste pour exprimer un DL, donc j'ai besoin uniquement de la dérivée en 0,

C'est toi qui voulais !!!

comment on sait à quel ordre on peut s'arreter dans un DL?

On s'arrête à l'ordre utile.
Il n'y a pas plus de réponse générale que à la question "En voiture, comment on sait où il faut s'arrêter".

Cordialement.

NB : 0577 te donne un calcul, il faut encore en extraire la valeur de f⁽⁴⁾(0). Avec la formule de Mac-Laurin.

[Floria]

ben en fait, d'après ma prof, comme j'utilise un DL pour simplifier f, le résultat est lui-même un DL de f.
ça me perturbait aussi un peu d'utiliser un DL pour calculer un DL....

Donc au final il suffit de prendre le DL à l'ordre 3 de 1/(1+u) et de développer comme l'a fait 0577 pour obtenir le DL à l'ordre 3 de f.
Accessoirement, j'ai vérifié avec ma méthode (à savoir par la formule ) et j'obtiens bien le même résultat pour le DL de f, sauf que pour l'obtenir il me faut cette fois la dérivée 4ème de f et pour la calculer facilement il faut utiliser le DL de 1/(1+u) à l'ordre 4 cette fois, donc ça fait des tas de calculs en plus pour rien du tout.

Donc, je crois bien que j'ai enfin compris
merci à tous pour votre aide!