Maths sup - ordre et racine primitive modulo p

[invite9e4dbef8]

Bonjour à tous, j'ai ce dm à faire pour lundi 12,

dm1.jpg

dm2.jpg

dm3.jpg

J'ai fait toutes les questions jusqu'à la 4a incluse,
je bloque pour la 4b,
je trouve que le noyau est l'ensemble des entiers tels que z^kcongru à 1(p)
c'est-à-dire la question 3b, mais on me demande de la reprouvé

Ensuite j'ai fais la question 5 mais je bloque pour la question 6 et surtout la 7:
j'ai ecrit la décomposition de 196=2[SUP]2/SUP] * 7[SUP]2/SUP]
mais je comprends pas ce qu'il faut en faire après

Merci d'avance à toute personne qui pourrait m'aider
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[Seirios]

Bonjour,

Sais-tu que tout sous-groupe de Z est de la forme nZ ?

[invite9e4dbef8]

Donc Ker(alpha) = rZ

[Seirios]

Tout à fait, et à partir de là, tu peux en déduire les réponses que tu as données aux questions 3.b et 3.c.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9e4dbef8]

Pour la 3b je vois comment,
mais comment on retrouve la 3c

[invite9e4dbef8]

Finalement j'ai trouvé, il suffit d'utiliser les propriétés d'un morphisme de groupe

Quelqu'un pourrait-il m'aider pour la 7 ? Comment utiliser la décomposition de 196 ?

[Seirios]

Il suffit d'appliquer la définition : montrer que 2 est d'ordre 196. Pour cela, tu peux montrer que et que pour tout diviseur strict d de 196, . La décomposition en nombres premiers te permet de simplifier tes calculs et de trouver les diviseurs de 196.

[invite9e4dbef8]

Merci, j'ai compris pour ça

J'ai résolu l'équation x⁵congru 1(197)
ce sont les x congru 1(197)

Par contre pour x⁷congru 1(197)
je trouve les x congru 1(197)
et les x d'ordre 7 modulo 197, mais je ne sais pas comment les déterminer

[invite9e4dbef8]

S'il vous plait, quelqu'un pourrait m'aider

[Seirios]

De manière générale, si tu as , alors . Or d'après les questions précédentes, donc est une puissance de 2. Cela devrait t'aider.

[invite9e4dbef8]

Merci beacoup, ton explication m'a bien aider,
pour l'équation x^7congru 1(197), je trouve classe d'équivalence de :
1, 2^28 , 2^56 , 2^84 , 2^112, 2^140, 2^168, 2^196 i.e. les multiples de 28 compris entre 1 et 196
si j'ai bien compris ils devraient tous etre distincts

[invite9e4dbef8]

Par contre pour la question suivante, combien y-a-t il de solution entre 0 et 196
pour xⁿcongru 1 (197)

J'ai trouvé que les solutions étaient congrus à 2^{(196k / t)}
où t est l'ordre de x modulo 197,
mais comment savoir si les solution sont entre 0 et 196 ?

[Seirios]

Déterminer le nombre de solutions entre 0 et 196 revient à trouver le nombre de solutions modulo 197. Il te faudra donc notamment trouver une condition nécessaire et suffisante sur p et q tels que .

[invite9e4dbef8]

le probleme c'est que t peut prendre plusieurs valeur, j'ai juste t divise pgcd(196,n)

[Seirios]

Tu peux d'abord raisonner à t fixé, puis sommer sur les ordres possibles.