exo L1 maths - Analyse Fonction de référence

[invite5fb92875]

Bonjour à tous et à toutes
Je viens de reprendre des études à distance il y a un mois (après deux grossesses) en Licence 1 maths, je suis un peu perdu dans mon exo...
Si quelqu'un aurait la patience de m'expliquer je lui en serait très reconnaissante!!
Voici l'énoncé :

On considère la fonction définie par:
f(x) = arcsin (x/4) - arctan ( x / ( Rac(16-x²))

1- Déterminer le domaine de définition de cette fonction et son ensemble de continuité
On sait que la fonction arcsin est définie et continue sur [-1;1]
donc -1<x/4<1
et -4<x<4

On sait que arctan est définie et continue sur IR
Mais Rac(16-x²)> ou = 0 donc sur [-4;4]

f(x) est définie et continue sur ]-4;4[

Est-ce que cette première question est bonne?

2- Calculer la dérivée f'(x) lorsqu'elle existe, on cherchera l'expression la plus simple possible:
dérivée de arcsin (x/4)
arcsin'(y) = 1/(rac(1-y²)
arcsin'(x/4) = 1/(rac(16-x²/16))

dérivée de arctan (x/(rac(16-x²))
arctan' (y) = 1/ (1+y²)
arctan'(x/rac(16-x²)) = 16-x²/16

f'(x) =1/(rac(16-x²/16)) - (16-x²/16)
= x^6-48x^4+768x² / (-256x²+4096)
Est ce que c'est bon?

3- Calculer la lim f(x) qd x tend vers 4 et inf à 4
Calculer la lim f(x) qd x tend vers 4 et sup à 4
Pour la limite je ne sais pas trop quoi faire, si je repars de f(x) je suppose qu'il faut transformer l'écriture... j'aurai bien utilisé la dérivée mais je ne sais pas trop comment, peut être en lien avec les développements limités (que je viens tous juste de voir mais que je ne maitrise pas du tout...)
4- Faire une représentation graphique de f
5- Qu'elle formule a t-on démontrée, pour x>0? Pouvait-on trouver une démonstration directe de ce résultat?


Merci d'avance de vos réponses,

Haswantee
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[phys4]

On considère la fonction définie par:
f(x) = arcsin (x/4) - arctan ( x / ( Rac(16-x²))

1- Déterminer le domaine de définition de cette fonction et son ensemble de continuité
On sait que la fonction arcsin est définie et continue sur [-1;1]
donc -1<x/4<1
et -4<x<4

On sait que arctan est définie et continue sur IR
Mais Rac(16-x²)> ou = 0 donc sur [-4;4]

f(x) est définie et continue sur ]-4;4[

Est-ce que cette première question est bonne?

Bonjour, cette question ne semble pas poser de difficulté.

2- Calculer la dérivée f'(x) lorsqu'elle existe, on cherchera l'expression la plus simple possible:
dérivée de arcsin (x/4)
arcsin'(y) = 1/(rac(1-y²)
arcsin'(x/4) = 1/(rac(16-x²/16))

dérivée de arctan (x/(rac(16-x²))
arctan' (y) = 1/ (1+y²)
arctan'(x/rac(16-x²)) = 16-x²/16

f'(x) =1/(rac(16-x²/16)) - (16-x²/16)
= x^6-48x^4+768x² / (-256x²+4096)
Est ce que c'est bon?

Un peu de révision s'impose pour les dérivées de fonction de fonction, il faut tenir compte de
[g(f(x))]' = g'(f(x)).f'(x)

Il manque la dérivée de la fonction interne dans votre cas, vous devrez trouver dans les deux cas. Oui bizarre, mais nous allons bientôt voir pourquoi.

3- Calculer la lim f(x) qd x tend vers 4 et inf à 4
Calculer la lim f(x) qd x tend vers 4 et sup à 4

Je pense que la deuxième limite demandée est -4 ????

Nous avons vu à la question précédente que la dérivée de la différence des fonctions est nulle, et les deux limites pour chaque fonction sont donc la limite vaut 0 avec une tangente nulle.

4- Faire une représentation graphique de f
5- Qu'elle formule a t-on démontrée, pour x>0? Pouvait-on trouver une démonstration directe de ce résultat?

La fonction donnée est nulle partout, car l'arcsin et égal à l'arctang.
Très facile à démontrer en posant a = arcsin (x/4)
Ce qui permet de calculer cos(a) puis tang(a)

Au plaisir de vous revoir sur le forum.

[gg0]

A noter,

la condition de définition de f n'est pas " Rac(16-x²)> ou = 0", car cette racine doit exister et être non nulle (alors elle est positive par définition), mais " 16-x²> 0" qui permet à la racine carrée d'être définie et non nulle.
Ce genre de confusion est un excellent indice de compréhension par l'étudiant de ce qu'il dit lui-même; une copie qui commence ainsi sera notée très sévèrement.

Cordialement.

[invite5fb92875]

Bonjour,

Merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre et de m'expliquer,
j'ai repris le début de l'exercice avec vos indications et en effet, j'ai complétement oublié les dérivées des fonctions composés... et voici à quoi j'arrive:

pour la dérivée de arcsin (x/4):

1/(rac (1- (x/4)²) * 1/4
1/(rac (1-(x²/16) * 1/4
1/(rac ((16-x²)/16 )* 16)
1/ (rac ((16-x²))

pour la dérivée de arctan (x/ ( rac (16-x²)):

(1/(1+(x/(rac (16-x²)²)) * (((rac(16-x²)+x(-x/rac(16-x²))/ rac(16-x²)²)
...
((16-x²)/16) * ((rac(16-x²) - (x²/ rac16-x²))
...
((16-x²)/16) * (16/(rac(16-x²))*(1/16-x²))
...
1/(rac (16-x²))

donc f'(x) = 1/(rac (16-x²)) - (1/(rac (16-x²)))
f'(x) = 0

(c'est en effet curieux...)

2) limite x tend vers 4 inf 4 :
lim arcsin (x/4)
= lim arcsin 1
= pi/2
lim arctan (x/rac(16-x)
On pose u=x/rac(16-x)
lim u = + inf
lim (en +inf) arctan u = pi/2

lim f(x)= 0
(encore un 0...)

avec le même raisonnement j'obtiens pour lim qd x tend vers -4 inf -4 (il y avait effectivement un moins dans l'énoncé...)
lim f(x) = 0
(j'ai des 0 partout...)

4) la dérivée est nul et que les lim tendent vers 0, je dirais donc que la courbe en elle même est nulle...
j'ai donc tracé un magnifique graphique vide...

5) je n'ai pas encore retravaillé la question...je vous tiens au courant!!

Merci pour tout,

Haswantee

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5fb92875]

Bonjour,

Merci pour votre remarque, je vais essayé d'être plus rigoureuse sur la rédaction, je serais plus vigilante et notamment aux partiels afin de ne pas donner une mauvaise impression sur ma copie, ce qui serait vraiment dommage vu que je m'investie énormément pour essayé d'y arriver (mais la l1 est vraiment dur...)

Merci,

Cordialement,

Haswantee

[gg0]

Bonsoir.

Tu as été bien plus efficace. Attention, le graphique n'est pas vide, la courbe de f est ??

Dans la question 5 est-ce bien x>0 ? ou -4<x<4 ?

Cordialement.

[invite5fb92875]

Merci beaucoup c'est encourageant!

Oui pour la question 5 c'est bien x>0

Pour le graphique en effet il n'est pas vide, je dirais que pour tout x de cet interval f(x) vaut 0, et donc que la courbe de f est nulle. C'est mieux?

Cordialement,

Haswantee

[gg0]

Heu ...

nul, c'est égal à 0. Donc ça concerne un nombre, plus généralement un élément d'une structure algébrique avec une addition. Pour la courbe, il y a des mots géométriques très précis : Il est important que tu saches dire quelle est la courbe.

Cordialement.