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Direction d'un vecteur

  1. #1
    Bleyblue

    Direction d'un vecteur

    Bonjour,

    J'ai ici les composantes d'un vecteur dans :
    (les deux composantes dépendent du paramètre t)

    Comment feriez-vous pour montrer que ce vecteur est dirigé vers l'origine du repère quel que soit la valeur de t ?
    Moi je ne vois pas trop donc si vous avez une idée je veux bien

    merci

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    indian58

    Re : Direction d'un vecteur

    Qu'entends-tu exactement par dirigé vers l'origine du repère????

  4. #3
    PA5CAL

    Re : Direction d'un vecteur

    Citation Envoyé par Bleyblue
    montrer que ce vecteur est dirigé vers l'origine du repère
    Dans un espace vectoriel, on ne parle pas d' "origine du repère". Tout au plus parlerait-on du vecteur nul (0,0). Quant à "diriger" un vecteur vers lui, ça n'a pas de sens.

    Je pense qu'il manque des choses importantes dans ton énoncé.
    Dernière modification par PA5CAL ; 28/12/2005 à 12h59.

  5. #4
    invité576543
    Invité

    Re : Direction d'un vecteur

    J'ai l'impression qu'il y un problème avec le concept même de vecteur! La question n'a pas plus de sens que de demander si un réel est orienté vers le zéro!

    La notion de "orienté vers" est une notion d'espace affine, lié à la question si une droite passant par tel point et ayant tel vecteur directeur passera par tel autre point. "orienté vers n'existe pas dans un espace vectoriel, àmha...

    Cordialement,

  6. #5
    Bleyblue

    Re : Direction d'un vecteur

    Eh bien en fait la question de départ est :

    Le vecteur :



    donne la position du point p en fonction du temps (oméga réel).
    Je dois montrer que le vecteur accélération est dirigé vers l'origine de et est de norme constante.

    Il suffit de dériver deux fois les deux composantes du vecteur position pour trouver le vecteur accélération, et pour la norme constante il suffit de calculer la norme et montrer qu'elle ne dépend pas de t.

    Mais pour montrer que le vecteur est dirigé vers l'origine je ne vois pas ...

    Est-ce que j'ai mal compris la question ?

    merci

  7. #6
    BioBen

    Re : Direction d'un vecteur

    Euh au risque de dire une anerie c'est pas l'analogue d'un mouvement circulaire uniforme ??

  8. #7
    Quinto

    Re : Direction d'un vecteur

    Il ne faut pas être idiot non plus, je pense que tout le monde a compris ce qui signifie être dirigé vers l'origine du repère, ca signifie que le vecteur pointe en direction de 0 et est porté par une droite qui passe par 0.

  9. #8
    Bleyblue

    Re : Direction d'un vecteur

    Euh au risque de dire une anerie c'est pas l'analogue d'un mouvement circulaire uniforme ??
    Je pense bien que si ...

  10. #9
    doryphore

    Talking Re : Direction d'un vecteur

    Un espace affine de dimension 2, muni d'un repère (O,i,j)
    Une correspondance bijective phi entre les points de l'espace affine et l'espace vectoriel R²

    Une application a qui a tous points de la trajectoire phi^(-1)(p(R)) associe un vecteur de R² noté a(t) par abus de notation: en fait a(phi^(-1)(p(t))).

    Montrer que pour tout t, a(t) et p(t) sont colinéaires et de signes contraires.
    Voilà, je pense que c'est moins clair pour tout le monde.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  11. #10
    invité576543
    Invité

    Re : Direction d'un vecteur

    Citation Envoyé par Quinto
    Il ne faut pas être idiot non plus, je pense que tout le monde a compris ce qui signifie être dirigé vers l'origine du repère, ca signifie que le vecteur pointe en direction de 0 et est porté par une droite qui passe par 0.
    Ce n'est pas une question d'être idiot. Dans ta description, il manque un point et du coup elle manque de rigueur. Une vitesse ou une accélération sont des vecteurs liés à quelque chose, a un point P d'un espace affine. Alors on peut dire par abus de langage qu'un vecteur v en P pointe vers O, au sens affine, à savoir que la droite passant par P et de vecteur directeur v passe aussi par O et que PO.v est positif.

    La question d'origine ne parlait pas d'espace affine, mais uniquement d'espace vectoriel.

    Personnellement, je pense que la confusion amenée par l'enseignement (définir un vecteur comme un bipoint...) est à l'origine de ce genre de question bizarre. Etre considéré comme idiot parce qu'on n'accepte pas cette confusion est assez curieux...

    Cordialement,

  12. #11
    doryphore

    Cool Re : Direction d'un vecteur

    Un jour, j'ai essayé d'expliquer les classes d'équivalence à mes élèves de cinquième à propos des angles: ils ont tout compris, si si...

    Le problème global de l'enseignement des mathématiques en France est le postulat suivant lequel plus on prive l'élève de concepts pour s'exprimer, plus il sera capable d'appréhender les concepts jugés importants...

    Pourquoi ne pas faire un chapitre sur les bipoints en collège, voir même une mathématiques des bipoints si celà permet à l'élève d'éviter les confusions inévitables entrainée par l'enseignement actuel ?
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  13. #12
    Bleyblue

    Re : Direction d'un vecteur

    Citation Envoyé par mmy
    Personnellement, je pense que la confusion amenée par l'enseignement (définir un vecteur comme un bipoint...) est à l'origine de ce genre de question bizarre.
    Et bien moi lorsque j'étais au collège, on m'a définit un vecteur comme étant un segment de droite orienté (une flèche) et je trouve que ce n'est pas fort adapté.
    Définir un vecteur comme un bipoint (ou comme un n-uple de points plus généralement) c'est encore ce qu'il y a de mieux non ?
    Moi en tout cas je n'ai jamais vu de meilleur définition.

    D'autre part en analyse les fonctions de R -> Rn sont appelées des fonctions vectorielles d'une variable réelle.
    Si j'avais du me baser sur le fait qu'un vecteur c'est un segment de droite orienté j'aurais eu du mal à voir le rapport

    Quoiqu'il en soit je trouve que les vecteurs sont mal définit dans l'enseignement secondaire (collège), ou du moins moi j'ai reçue une définition qui m'a posé pas mal de problème de compréhension par la suite ...

    Aujourd'hui je me définit un vecteur comme étant un n-uple de points (les n composantes de celui-ci). Est-ce une mauvaise définition ?

    Voilà, sinon si quelqu'un aurait une idée à propos de solution de l'énoncé qui est à l'origine de ce débat je suis toujours partant

    merci

  14. #13
    invité576543
    Invité

    Re : Direction d'un vecteur

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Et bien moi lorsque j'étais au collège, on m'a définit un vecteur comme étant un segment de droite orienté (une flèche) et je trouve que ce n'est pas fort adapté.
    Définir un vecteur comme un bipoint (ou comme un n-uple de points plus généralement) c'est encore ce qu'il y a de mieux non ?
    Disons que c'est déjà mieux qu'un segment de droite! Une meilleure définition est une classe de bipoints, mais comme le sous-entend (?) Doryphore ce n'est pas adapté au début. Personnellement je préfère (avec les élèves que sont mes enfants!) parler de quantité dans une direction. C'est assez intuitif de conceptualiser deux droites parallèles comme "la même" direction...


    Aujourd'hui je me définit un vecteur comme étant un n-uple de points (les n composantes de celui-ci). Est-ce une mauvaise définition ?
    Cela définit un élément de Rn, pas un vecteur!

    Voilà, sinon si quelqu'un aurait une idée à propos de solution de l'énoncé qui est à l'origine de ce débat je suis toujours partant
    Reformulé, tu as un une trajectoire P(t) définie par OP(t) = cos \omega t \vec{e_1} + sin \omega t \vec{e_2}.

    La dérivée d'une trajectoire par rapport au temps est un vecteur (la vitesse), obtenu en dérivant P(t) par rapport au temps. De même l'accélération est obtenue en dérivant la vitesse. Tu obtiens un vecteur, et on te demande de montrer qu'il est colinéaire à OP, etc.

    Suffit de dériver...

    Cordialement,

  15. #14
    IceDL

    Re : Direction d'un vecteur

    Salut Bleyblue,

    A priori si tu regardes le vecteur OP et que tu le dérive deux fois par rapport au temps tu trouve -Omega² multiplié par le vecteur OP ce qui doit répondre a ta question.

    D'ailleurs comme l'a fait remarquer Bioben ça fait un mouvement circulaire uniforme.

    Voilà

  16. #15
    Bleyblue

    Re : Direction d'un vecteur

    Citation Envoyé par mmy
    Cela définit un élément de Rn, pas un vecteur!
    ah. Mais un vecteur est tout de même définit de manière complète si on possède ses n composantes non ?

    Sinon pour mon problème ce n'est évidemment pas le fait de trouver le vecteur accélération qui me pose problème.

    Je trouve donc bien que : donc les deux vecteurs sont proportionnels.

    Mais je ne comprend pas en quoi est-ce que cela implique que a soit dirigé vers l'origine ...

    merci

  17. #16
    invité576543
    Invité

    Re : Direction d'un vecteur

    Citation Envoyé par Bleyblue
    ah. Mais un vecteur est tout de même définit de manière complète si on possède ses n composantes non ?
    Oui et non. C'est comme dire qu'un point sur Terre est "défini" de manière complète par sa latitude et sa longitude. Il est "décrit" de manière complète, une fois donné un système de référence. Un vecteur (en physique disons) existe indépendamment de ses coordonnées. Pas besoin de donner les composantes pour parler de la vitesse d'une voiture, non?

    Je trouve donc bien que : donc les deux vecteurs sont proportionnels.

    Mais je ne comprend pas en quoi est-ce que cela implique que a soit dirigé vers l'origine ...
    merci
    La question est double. La première est la colinéarité. C'est clairement le cas, non? La deuxième est "dirigé vers", cela veut dire que le signe du produit scalaire entre accélération et PO est positif (PO est la direction de P vers O). Et c'est quoi, la valeur du produit scalaire de l'accélération par PO ?

    Cordialement,

  18. #17
    doryphore

    Re : Direction d'un vecteur

    De plus, la définition axiomatique des vecteurs permet de traiter les vecteurs dans les espaces vectoriels de dimension infinie, ce que ne permet pas ta conception des vecteurs...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  19. #18
    Bleyblue

    Re : Direction d'un vecteur

    Citation Envoyé par mmy
    La question est double. La première est la colinéarité. C'est clairement le cas, non?
    Oui.

    Citation Envoyé par mmy
    Et c'est quoi, la valeur du produit scalaire de l'accélération par PO ?
    ben c'est :

    -w²cos² wt - w²sin²wt = -w²

    Ca n'est pas positif ça ...

    Citation Envoyé par mmy
    Oui et non. C'est comme dire qu'un point sur Terre est "défini" de manière complète par sa latitude et sa longitude. Il est "décrit" de manière complète, une fois donné un système de référence. Un vecteur (en physique disons) existe indépendamment de ses coordonnées. Pas besoin de donner les composantes pour parler de la vitesse d'une voiture, non?
    Ah, oui moi je supposais qu'on avait déja fait le choix d'un repère et qu'on travaillait avec celui ci.

    Citation Envoyé par Doryphore
    De plus, la définition axiomatique des vecteurs permet de traiter les vecteurs dans les espaces vectoriels de dimension infinie, ce que ne permet pas ta conception des vecteurs...
    Ah je ne sais pas
    Je verrai les espaces vectoriels d'ici le mois de février au cours (je ne connais pas encore)

    merci

  20. #19
    Bleyblue

    Re : Direction d'un vecteur

    J'ai été jeter un oeil à mes notes sur le produit scalaire.

    Comme le produit scalaire entre Op et a est négatif, cela veut dire que l'angle entre ceux-ci est obtu mais de nouveau j'ai du mal à voir en quoi ça m'avance ...

  21. #20
    doryphore

    Smile Re : Direction d'un vecteur

    En fait, si tu montres que pour un t quelconque, tu as:

    a(t) = -k(t) OP(t) avec k(t)>0, tu montres que l'accélération est centripète.

    Si de plus, k(t)=k>0 ne dépend pas de t, je crois que tu peux conclure que le mouvement est circulaire...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  22. #21
    invité576543
    Invité

    Re : Direction d'un vecteur

    Citation Envoyé par Bleyblue
    ben c'est :

    -w²cos² wt - w²sin²wt = -w²

    Ca n'est pas positif ça ...
    Certes, mais j'avais écrit (volontairement!) PO et pas OP...

    Comme le produit scalaire entre Op et a est négatif, cela veut dire que l'angle entre ceux-ci est obtu mais de nouveau j'ai du mal à voir en quoi ça m'avance
    Sachant qu'ils sont colinéaires et que l'angle est obtu, il ne reste pas grand choix pour l'angle, non?

  23. #22
    Bleyblue

    Re : Direction d'un vecteur

    Un angle plat alors.
    Donc le vecteur accélération est opposé au vecteur OP donc il a même direction que PO donc il est bien dirigé vers O(0,0)

    merci

  24. #23
    Bleyblue

    Re : Direction d'un vecteur

    Dites si j'ai un vecteur :

    et un scalaire

    alors la fonction :



    ça définit bien le produit scalaire hein ?
    Et je peux comme ça inventer des tas de fonctions qui font tout ce que je veux (grand sourire et expression naïve sur mon visage ) ?

    merci

  25. #24
    doryphore

    Cool Re : Direction d'un vecteur

    C'est le produit d'un vecteur de R² par un scalaire réel: ce n'est pas un produit scalaire...qui est à image dans R
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  26. #25
    Bleyblue

    Re : Direction d'un vecteur

    Ah oui mince j'ai juste confondut les dénominations ...

    merci

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