difféomorphisme

[invitef7cb9c5c]

Bonsoir
j'ai du mal à saisir la nuance entre la fonction f est un C1 difféomorphisme local sur un ouvert V par exemple et f : v-->f(v) est un C1 difféomorphisme?
fifrelette
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[taladris]

Salut,

dire qu'une fonction est un -diffeomorphisme (global) signifie que est une bijection, est et que est aussi .

Dire que est un -diffeomorphisme local en un point de signifie que , il existe un voisinage ouvert de (a priori différent de ) tel que la restriction est un -diffeomorphisme (global). est un -diffeomorphisme local sur si est un -diffeomorphisme local en tout point de .

Ex:
1) définie par est une bijection qui n'est pas un diffeomorphisme.
2) définie par est un -diffeomorphisme local en tout point mais n'est pas un diffeomorphisme global.

[pesdecoa]

Salut,

dire qu'une fonction est un -diffeomorphisme (global) signifie que est une bijection, est et que est aussi .

Dire que est un -diffeomorphisme local en un point de signifie que , il existe un voisinage ouvert de (a priori différent de ) tel que la restriction est un -diffeomorphisme (global). est un -diffeomorphisme local sur si est un -diffeomorphisme local en tout point de .

Ex:
1) définie par est une bijection qui n'est pas un diffeomorphisme.
2) définie par est un -diffeomorphisme local en tout point mais n'est pas un diffeomorphisme global.

C'est quand même pas super clair...
Est ce parceque les fonctions et ne tendent pas vers 0 de la même manière?

[invitef7cb9c5c]

Bonjour,
En fait si f est un C1-difféomorphisme local sur v, f:V-->f(v) est un C1 difféomorphisme si F est injective?

Dans l'exercice que j'essaie de comprendre, on a montré que f est 2 lipschitzienne , après on s'en sert pas, ça m'étonne parce que souvent on réutilise les résultat: pour appliquer le théorème de l'inversion local (calcul du jacobien, si non nul, df est bijective donc f est C1 difféomorphisme local), f doit-elle être C1 ou lipschitzienne suffit.

fifrelette

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

C'est quand même pas super clair...
Est ce parceque les fonctions et ne tendent pas vers 0 de la même manière?

Je ne sais pas ce que "converger vers 0 de la même manière" signifie.

Pour montrer que f est un difféomorphisme local en tout point, on peut au choix:
1) calculer le jacobien de f et utiliser le théorème d'inversion local.
2) montrer directement que f est un difféomorphisme local en tout point (en particulier, on peut utiliser le fait que si on identifie via , la fonction s'identifie à la fonction ).

Bonjour,
En fait si f est un C1-difféomorphisme local sur v, f:V-->f(v) est un C1 difféomorphisme si F est injective?

Oui. La preuve est simple: on sait déjà que f est C1, et puisque f est injective, est surjective. Par ailleurs, est . En effet, soit un point de . Alors il existe tel que . Comme f est un difféo local en x, il existe un voisinage ouvert sur lequel est un difféo. Donc , qui est l'inverse de , est . En particulier, est en . Donc est bien .

Dans l'exercice que j'essaie de comprendre, on a montré que f est 2 lipschitzienne , après on s'en sert pas, ça m'étonne parce que souvent on réutilise les résultat: pour appliquer le théorème de l'inversion local (calcul du jacobien, si non nul, df est bijective donc f est C1 difféomorphisme local), f doit-elle être C1 ou lipschitzienne suffit.

Une fonction lipchitzienne est continue mais pas différentiable en général (par exemple, la norme euclidienne sur est 1-lipchitzienne mais pas différentiable). Par conséquent, difficile de calculer son jacobien! Donc il faut que la fonction soit pour pouvoir espérer utiliser le théorème d'inversion locale (avec un e car c'est l'inversion qui est locale).

[pesdecoa]

Je ne sais pas ce que "converger vers 0 de la même manière" signifie.

Pour montrer que f est un difféomorphisme local en tout point, on peut au choix:
1) calculer le jacobien de f et utiliser le théorème d'inversion local.
2) montrer directement que f est un difféomorphisme local en tout point (en particulier, on peut utiliser le fait que si on identifie via , la fonction s'identifie à la ple, la norme euclidi locale).

Le jacobien mesure la courbure d'une (hyper) surface, c'est bien cela?
Si le déterminant est nul alors cela signfie qu'il n'est pas possible de passer d'une surface plane à une autre surface sans la déchirer.
Je suis désolé de sortir de l'abstraction algébrique pour m'engouffrer dans la concrétude de la géométrie...

[taladris]

Le jacobien mesure la courbure d'une (hyper) surface, c'est bien cela?

Je ne vous suit pas. Mon exemple est une fonction de dans . Ce n'est pas une hypersurface puisque l'ensemble d'arrivée de n'est pas de dimension 1. On pourrait aussi imaginer f comme paramétrisation d'une surface (puisque le domaine est un ouvert de ) mais l'ensemble d'arrivée est donc cela a peu d'intérêt.