Topologie

[anthony_06]

Bonsoir,

On définit , l'ensemble des nombres p-adiques comme le complété de . Cela implique que est complet et qu'il existe une isométrie i telle que est dense dans . Comme une isométrie est nécessairement injective, cela implique que '' possède plus d'élément que . De quels éléments est composé ?

Si vous ne comprenez pas ma question, écrivez-moi.

Merci d'avance
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[invite76543456789]

Salut,
Ben tu l'as ecrit toi meme, Z_p est le complete de Z, donc ces elements sont les suites de cauchy de Z, à équivalence pres.

[anthony_06]

Tu pourrais me donner un exemple d'élément dans qui n'est pas dans stp.

[invite76543456789]

Bien sur, tu as par exemple 1/q pour q different de p, un nombre premier quelconque, qui est dans Z_p mais qui n'est pas Z.
Tu as auss qui est dedans.

[A voir en vidéo sur Futura]

[anthony_06]

Merci
J'avais encore une autre question : peux-tu me donner l'isométrie i, ou un exemple s'il y en a plusieurs, pour laquelle i(Z) est dense dans Z_p?

[invite76543456789]

Ben, si tu vois Z_p comme l'ensemble des suites de cauchy entieres (pour la valuation p-adique) Z est inclue via les suites constantes (a,a,a....) ou a est un element quelconque de Z

[anthony_06]

Explicitement l'isométrie se définirait comment?

[invite76543456789]

Je viens de la donner, c'est a ->(a,a,a...)

[anthony_06]

Quelle preuve utilises tu pour montrer que c'est une isometrie?

[invite76543456789]

C'est un fait completement general sur le completé d'un espace métrique.
La norme de (a_n) ici est définie par la limite de la suite des normes (|a_n|) qui existe par ce que R est complet et que la suite est de cauchy par l'inégalité triangulaire.
Ici la norme de (a) est donc |a| et donc tu as bien une isométrie.