La fraction continue

[invite7763d544]

Bonsoir !!
Je peux utiliser un peu d'aide dans la question suivante:
Soient a et b deux entiers naturels premiers entre eux tels que a>b. Démontrer qu'il existe ds entiers naturels α₀,α₁,...,α_n tels que:



J'ai utilisé la fraction continue, mais ça ne marche pas !!
S'il vous plaît aidez-moi!!
Merci pour votre temps !!
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[Médiat]

Bonsoir,

Qu'appelez-vous "utiliser la fraction continue".

Quelles sont les contraintes sur c ?

Est-ce que votre expression ne serait pas :

[sylvainc2]

Les a_i sont les quotients dans le calcul de pgcd(a,b) avec l'algo d'Euclide. Ca pourrait être utilisé dans la démo, peut-être.

[invite7763d544]

Désolée pour la réponse tardive.

@Médiat

Qu'appelez-vous "utiliser la fraction continue".

Je veux dire par ça: la division euclidienne.

Est-ce que votre expression ne serait pas :

Oui, c'est ça!! je n'ai pas utilisé le LaTeX proprement, je m'excuse.

@sylvainc2
J'ai utilisé la division euclidienne, mais est-ce que c'est la même chose avec l'algo d'Euclide?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7763d544]

Désolée pour la réponse tardive!!

Alors j'ai utilisé l'algorithme d'Euclide entre a et b, mais je n'ai pas pu le relier à la fraction continue de a/b:

Soient a et b deux entiers naturels non nuls premiers entre-eux tels que a>b.
Effectuant la division euclidienne de a par b : a = b[smb]multiplie[/smb]q₀ + a₀, avec 0 ≤ a₀ < b.
si a₀ = 0 : alors b divise a et PGCD (a ; b) = b (ceci contredit le fait que a et b sont premiers entre-eux)
si a₀ ≠ 0 : alors PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a₀).
b = a₀ q₁ + a₁ , avec 0 ≤ a₁ < a₀.
si a₁ = 0 : alors a₀ divise b et PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a₀) = a₀
si a₁ ≠ 0 : alors PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a₀) = PGCD (a₀ ; a₁).
a₀ = a₁[smb]multiplie[/smb]q₂ + a₂ , avec 0 ≤ a₁ < a₂ …
On construit une suite (U_n) d’entiers naturels tels que : b > a₀ > a₁ > … > a_n-1 > a_n ≥ 0.
Cette suite est strictement décroissante, et son nombre de termes non nuls est fini.
Notons n le plus petit entier tel que a_n = 0. a_{n – 1} est donc le dernier reste non nul.
PGCD (a ; b) = PGCD (a_{n – 2} ; a_{n – 1} ) = PGCD (a_{n – 1} ; a_n ) = PGCD (a_{n – 1} ; 0) = a_{n – 1}

[Médiat]

Bonjour,

Dans le document final.pdf : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180, en page 35, vous trouverez une ébauche de démonstration.

[invite7763d544]

Merci beaucoup, tu m'a sauvé la vie !!!

La page désirée était 37 , merci encore!!