bonjour, je dois résoudre un problème, je sais pas vraiement par où commencer:
Il s´agit de la série de terme général suivant:
Un = (1 - 1/n)^(n^α) α > 0
Il s´agit de discuter selon α la nature de la série, convergente ou divergente.
J´ai essayé avec le petit critère de Cauchy, mais ça va pas loin.
Mon seul résultat est que si α = 1 alors Un converge ver 1/e donc la série diverge.
Si vous avez des idées... merci d´avance
Déjà, juste avec des comparaisons, tu peux en tirer des conclusions pour α < 1Envoyé par christophe_de_Berlin
tu veux dire, puisque si α = 1 Un converge vers 1/e, alors si α < 1 Un converge vers L > 1/e?
Oui, mais il s'agit plus de comparer les termes généraux que les limites en fait.
bon je vais voir. Et si α > 1?
merci matthias, j´ai donc constaté que pour α = 1 la suite en question converge vers 1/e, donc que la série diverge. J´appelle cette suite U1(n). Pour α < 1 la suite Uα(n) est minorée par U1(n).
Donc la série de terme général Uα(n), étant minorée par U1(n), diverge aussi
Mais pour α > 1 je suis à cours d´idées, je sais même pas comment trouver si la suite converge vers 0
Tu as essayé les DL ? Je ne sais pas si c'est la meilleure solution, mais ça doit être faisable comme ça.
malheureusement j´en suis pas là, faut encore que j´étudie la chose
et d'Alembert?
oui moi je prendrais la racine n-ième si tu as vu ce truc là aussi
Salut,
dans ce genre de problèmes multiplicatifs, prendre le logarithme permet de se ramener à quelque chose de plus simple.
Cordialement.
Romain & Martini, vous aviez raison! merci. Le cas est PRESQUE résolu
Le problème est partiellement résolvable grâce au critère de Cauchy. En fait j´avais déjà commencé dans cette direction, mais abondonné en plein milieu , pensant que ça ne mène à aucun résultat concret. Pour ceux que ça intéresse:
Uα(n) = (1 - 1/n)^(n^α)
nracine(Uα(n)) = ((1 - 1/n)^(n^α))^1/n
Après transformation avec ln et exp:
nracine(Uα(n)) = exp(n^(α-2) x ln((1-1/n)^n))
Il s´agit donc de trouver la limite in +infini de
n^(α-2) x ln((1-1/n)^n)
Lim ln((1-1/n)^n) = -1
Donc tout dépend de exp(n^(α-2):
Si α=2 Lim n^(α-2) x ln((1-1/n)^n) = -1
donc Lim Uα(n) = e^-1 <1 donc la série converge
si α < 2 Lim n^(α-2) x ln((1-1/n)^n) = 0
donc Lim Uα(n) = 1 cas indéterminé
Si α > 2 Lim n^(α-2) x ln((1-1/n)^n) = -infini
donc Lim Uα(n) =0
donc la série converge
Je n´arrive toujours pas à déterminer la cas où
1<α<2
Bon dites moi si vous y trouvez des erreurs de raisonnement.
c'est quoi ce critère de cauchy? si |un| ne tend pas vers 0, la serie diverge, point barreLim Uα(n) = e^-1 <1 donc la série converge
si on étudie une série ou son reste, ce serait plutôt l'exponentiel et parfois on se retrouve avec des produits et des diviseurs qui se compensent, mais ca n'a pas l'air d'être le casdans ce genre de problèmes multiplicatifs, prendre le logarithme permet de se ramener à quelque chose de plus simple
bon, et d'alembert dans tout ça?
Salut,
OK, désolé, je vois que j´ai fait un problème de notation en exposant mes résultats. En effet, ce n´est pas Un, mais sa racine enième, donc Un^-1 qui tend vers:
e^-1 <1 si α=2
1 si α < 2
0 < 1 si α > 2
Donc dans le premier et le dernier cas, on peut tout à fait utiliser le petit critère de Cauchy comme quoi une série de terme général Un à termes positifs diverge quand la limite de sa racine ènième tend vers une valeur supèrieure à 1, et converge quand la limite de sa racine ènième tend vers une valeur inférieure à 1 (dans la série qui m´occupe, c´est le cas pour α >= 2)
Quant-à d´Alembert, tu as raison, mais je m´empêtre dans les formules, j´essaie encore.
merci pour ton feedback
cordialement
christophe
Désolé, avec d´Alembert j´arrive au cas indéterminé:
Lim Un+1/Un = 1
+∞
Juste une question : c'est dans quelle classe qu'on voit ça ? MP ?
Tu veux dire quoi MP?
j'ai pas cherché avec alembert, j'ai juste proposé
j'en propose une autre: dans la serie, on rencontre les termes (1-1/n^(1/a))^n, n'est-ce donc pas le terme d'une série qui diverge?
Je voulais juste préciser que c'était pas forcément convergent, et donc, notamment, la limite n'existe peut-être pas.
D'autre part, il me semble que le terme général de cette série vaut exp(n^a * ln(1-1/n)). Et donc, on peut s'attendre à ce que la série converge lorsque la série de terme générale exp(-n^(a-1)) converge, ce qui doit arriver pour a >1, car les exponentielles décroissent bien plus vite que les fonctions 1/n^2 par exemple.
Attention, cela dit, je ne prends pas des exponentielles d'équivalents, j'utilise juste que ln(1+x) <= x.
pour répondre à ta question, on voit ça (en tout cas moi) en L2
Salut
euh... tu me poses une colle. Je vois pas où tu trouves l´expression (1-1/n^(1/a))^n. J´ai eu beau chercher... Et ça serait quoi comme limite?
Pour moi, d´Alembert n´a rien donné (pour l´instant)
c'est un peu comme si je te disais que la série de terme racine de n comptait en elle la série de terme n:Je vois pas où tu trouves l´expression (1-1/n^(1/a))^n
Dernière modification par moijdikssékool ; 10/01/2006 à 10h43.
Ceci dit, on a le droit de faire cela si tout est beau et joli, ie que les séries convergent. Si la somme des 2 séries est infinie, tu n'auras rien montré. Donc mon idée est inintéressante
sinon:
si 2 > a > 1, posons b = a-1 et (1 - 1/n)^n^a = (1 - 1/n)^(n^(1+b)) = ((1 - 1/n)^n)^(n^b)
(1 - 1/n)^n -> 1/e donc ((1 - 1/n)^n)^(n^b) équivaut à (1/e)^(n^b), terme de série qui diverge car b < 1
j´vais essayer
