primitive de fonction trigonométrique

[Minialoe67]

Bonjour,

pour m'entraîner je dois calculer des primitives et voir si ça correspond au corrigé que notre prof nous a donné.

en voici quelques unes qui me posent problème

1) sin³(x) * cos(x) (=> 1/4sin⁴(x) )
2) sin²(x)*cos⁵(x) (=> 1/7sin⁷(x) -2/5sin⁵(x) +1/3sin³(x))

En violet, les primitives du corrigé.

voici mes primitives (que j'ai calculées):
1) 1/32 cos(4x) - 1/8cos(2x)
2) -1/128 (2/7 sin(7x) +6/5sin(5x) +2/3sin(3x) -5sinx) )

comment vérifier si elles sont justes aussi?
(pour les calculer, j'ai linéarisé en utilisant les formules d'Euler puis j'ai intégré)
-----

[Seirios]

Bonjour,

Tu peux évaluer tes expressions en certains points. Par exemple, en évaluant en 0, tu vois que ta primitive 1) est différente de celle fournie par le corrigé.

[Seirios]

Sinon, la première primitive se trouve en remarquant une expression de la forme uu', de même pour la seconde en écrivant puis en développant.

[Minialoe67]

ok merci je vais reprendre mes calculs avec votre méthode

sinon 2 autres soucis:
comment trouve-t-on les primitives de x/cos²x et xtan²x. les corrigés donnent xtanx +ln|cosx| et xtanx + ln|cosx| -1/2x²
mais je ne vois pas comment arriver à ça: les intégrations par parties nous font tourner en boucle, on ne peut pas utiliser ni les lois de bioche ni la méthode que j'ai prise avant(linéariser), ce sont pas des fonctions rationnelles... qu'utiliser?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

On peut remarquer que , où est la dérivée de l'application tangente. Ensuite, la première primitive se déduit de la seconde en remarquant que .

[Minialoe67]

sin3(x) * cos(x) (=> 1/4sin4(x) ) mais moi je trouve -1/2cos²x +1/4cos⁴x avec votre méthode. et ça ne correspond pas avec le corrigé au point 0. juste ou faux alors?

[Seirios]

Le corrigé donne bien la bonne réponse ; comment as-tu raisonné ?

[Minialoe67]

sin³xcosx = sinx * (1-cos²x)cosx= sinxcosx -cos³xsinx
on primitive les 2 termes en posant u=cos x , du= -sinxdx
d'ou sinxcosx = -u*du et -cos³xsinx: u³du
on primitive ce qui donne -1/2u² +1/4u⁴
d'ou mon résultat -1/2cos²x +1/4cos⁴x

[Seirios]

C'est tout à fait correct ; si les évaluations en zéro ne coïncident pas, c'est à cause de la constante d'intégration. Pour trouver le résultat du corrigé, il suffisait de partir de et de poser directement , ce qui est d'ailleurs un peu plus simple (mais les deux résultats sont tout à fait corrects).

[Minialoe67]

ah oki. merci