Rendre élégante une formule "bourrine"

[Médiat]

Bonjour,

Cette fois ce n'est pas pour le fun :

Soit et deux ensembles (finis) et et des éléments de , je voudrais définir une relation d'équivalence sur qui, en français, s'exprime :

si et seulement si, pour tout , le nombre d'éléments de dont l'image réciproque est de cardinal est le même pour et pour .

On peut traduire cela, comme un bourrin (je note le cardinal de ) :


Mais cette formule manque sérieusement "d'élégance".

Un tout petit peu moins bourrin, mais toujours un peu "épais" :


Si quelqu'un pouvait trouver une expression équivalente (en se servant ou non du fait que les ensembles sont finis), cela me ferait très plaisir.

Merci d'avance
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[toothpick-charlie]

les f^{-1}(x) forment une partition de E donc ta propriété se traduit en relation entre 2 partitions. Si E est fini ça se traduit en égalité de 2 suites finies d'entiers.

[Médiat]

Merci de cette remarque.

les f^{-1}(x) forment une partition de E donc ta propriété se traduit en relation entre 2 partitions.

C'est exact, on pourrait d'ailleurs dire que f et g définissent sur E des relations d'équivalences isomorphes, mais pour écrire la formule correspondante, il faudrait définir une bijection h de E dans E qui "respecte" la relation d'équivalence je ne suis pas sûr que cela soit plus élégant que ma formule initiale (car il faut inclure la définition de h dans la formule).

Si E est fini ça se traduit en égalité de 2 suites finies d'entiers.

Je suis moins sûr, ce sont plutôt des suites croissantes car les applications qui déterminent les suites (2, 1, 3) et (1, 2, 3) sont équivalentes.

Mais ce que je cherche c'est bien une formule.

Par exemple pour une autre relation d'équivalence entre application :
f équivalent à g si et seulement si tous les éléments de E qui sont dans une même image réciproque d'un singleton par f, sont aussi dans une même image réciproque d'un singleton (mais pas forcément le même) par g, peut se traduire par :



Et ça c'est une formule que je trouve suffisamment élégante.

Merci encore de votre temps.

[toothpick-charlie]

Par exemple pour une autre relation d'équivalence entre application :
f équivalent à g si et seulement si tous les éléments de E qui sont dans une même image réciproque d'un singleton par f, sont aussi dans une même image réciproque d'un singleton (mais pas forcément le même) par g, peut se traduire par :

on peut dire aussi que f~g ssi il existe un bijection h sur F telle que f=hg

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

on peut dire aussi que f~g ssi il existe un bijection h sur F telle que f=hg

C'est exact, mais il faudrait que j'intègre dans ma formule le fait que h existe et que c'est une bijection, car je veux une formule "formelle" (pas un mot de français dedans) ce qui la rendrait beaucoup moins simple.

[toothpick-charlie]

je ne vois pas, par contre si tu acceptes une définition "en Français" on peut trouver une forme que j'ai la faiblesse de trouver un peu plus élégante: si f est une application de E dans F (supposés finis), je note f* l'application de F dans N qui a x associe le cardinal de f^{-1}(x), alors la propriété s'exprime par f~g ssi f**=g** (en prenant F=N pour la seconde étoile)

[Médiat]

Merci encore de votre temps, mais justement, ce que je cherche c'est une formule formelle, pas une expression en français (maintenant, il faut, peut-être passer par une autre expression en français pour aboutir à une formule plus élégante ...).

[Tryss]

Pourquoi tu ne veux pas définir une fonction intermédiaire ?



Et alors


Vu que tu utilise déjà la fonction cardinal et la fonction image réciproque, en introduire une troisième ne devrait pas poser de problèmes

(c'est à peu près l'idée de toothpick-charlie)

[Médiat]

Vu que tu utilise déjà la fonction cardinal et la fonction image réciproque, en introduire une troisième ne devrait pas poser de problèmes

Bonsoir,

L'image réciproque se définit sans problème, le cardinal c'est un peu plus compliqué, et vous remarquerez que l'exemple que j'ai donné dans mon message #3 ne contient rien de tout cela et c'est bien ce que je recherche, une solution ne faisant pas appel à la grosse artillerie, et c'est en cela que je la trouve élégante.

Votre solution demande en plus de définir les entiers.

Mais je me pose peut-être une question idiote

Merci de votre temps.

[Tryss]

Hum... Je ne trouve pas ça spécialement plus élégant... Mais j'ai peut être une idée :

Dans les messages 4 et 5, est ce que le caractère bijectif de h est vraiment nécessaire? Je n'ai pas l'impression (je peux me planter). Si c'était le cas, on pourrait donc définir la relation d'équivalence par contraposée :

f n'est pas équivalent à g si pour toute fonction h de F dans F, f n'est pas égal à gh

Ce qui se traduit relativement simplement il me semble

[Médiat]

Bonsoir,

Je ne crois pas que votre solution fonctionne^(*), mais elle m'a mis sur une piste :

f est équivalent à g ssi il existe une bijection h de E dans E et k une bijection de F dans F telles que kfh = g. Sauf erreur cela semble marcher.

Ce n'est pas beaucoup plus simple que la formulation initiale (car il faut dire que h et k sont des bijections) mais elle me semble bien capturer l'idée de cette relation (désindividualiser les éléments de E et de F).

(*) E={1, 2, 3}, F = {a, b} et f est définie par (a, a, b) et g par (b, a, b).

Merci de votre aide

[Médiat]

Bonjour,

Afin que ma démarche soit claire, je reprends l'exemple du message #4

Expression initiale en français :
f équivalent à g si et seulement si tous les éléments de E qui sont dans une même image réciproque d'un singleton par f, sont aussi dans une même image réciproque d'un singleton (mais pas forcément le même) par g.

Traduction "mot à mot" (qui, dans ce cas précis est simple, claire et lisible) :


Traduction mettant en évidence l'idée de fond (ici : les éléments de F jouent le même rôle), je note P(X), l'ensemble des permutations de X :


Traduction plus élégante



Pour le problème du premier message :

Expression initiale en français :
f équivalent à g si et seulement si, pour tout n entier, le nombre d'éléments de F dont l'image réciproque est de cardinal n est le même pour f et pour g.

Traduction "mot à mot" :


Traduction mettant en évidence l'idée de fond (ici : les éléments de E jouent le même rôle entre eux et les éléments de F jouent le même rôle entre eux) :


Cette dernière traduction m'ayant été soufflée par Tryss que je remercie encore.

Idéalement, j'aimerais trouver une quatrième traduction plus élégante (pas d'appel à la grosse artillerie), je précise qu'il s'agit pour moi d'une simple envie de concision.


La deuxième formule du message #1 n'est qu'une version de la traduction mot à mot avec une petite astuce.

[Garf]

Je ne sais pas si c'est suffisament simple (en fait, c'est plus long), mais si on travaille avec des ensembles finis, il me semble que est équivalent aux deux formules:


et


En fait, la formule définit une relation réflexive transitive (par manque de meilleur symbole), et:



Démonstration: on montre par récurrence sur que pour tout .

[Garf]

D'ailleurs, je m'aperçois qu'on peut enlever les -1 (c'est-à-dire ne prendre que des images directes), la méthode marche aussi, même si la relation réflexive transitive intermédiaire n'est probablement plus la même.

[Médiat]

Bonsoir,

Merci de votre aide et de votre temps, votre formule me paraît correcte, mais elle est du 2nd ordre (quantification sur des sous-ensembles et non des variables), dans le cas fini elle est logiquement équivalente à une formule du premier ordre, mais celle-ci serait très "compliquée".

Je suis un peu géné de vous faire perdre votre temps, j'espère que cela a été un plaisir pour vous ...