Fonctions de 2 variables

[jules345]

Bonjour,

Voila je sollicite votre aide pour avoir votre avis sur l'exercice qui m'est proposé

On considère
pour (x,y) différent de (0,0)
|->0 si (x, y) = (0, 0)

1) Montrer que f est différentiable sur R^2 \{(0,0)}
2) Cette fonction est elle continue sur R^2 ?
3) f est-elle différentiable sur R^2 \{(0,0)} ?

Pour la première question, je pensais utiliser le fait que la composée de fonctions différentiable l'est aussi donc (x,y)|->cos(y)-1 qui est dérivable sur R donc différentiable sur R^2 \{(0,0)} et (x, y)|-> mais je ne vois pas quel argument utiliser pour montrer que c'est différentiable ?

Pour la seconde question, j'ai écrit que était équivalent au voisinage de (0,0) à puis par l'inégalité classique x²+y²>=2|xy| on obtient que f plus petit que soit f équivalent à 0.25*y qui tend vers 0 quand (x, y) ->(0, 0) donc f est continue qu'en pensez-vous ?

Ensuite pour la dernière question je ne vois pas trop comment faire... j'ai essayé d'écrire f(x+h, y+k) mais sans réel succès...

Merci de vos remarques
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[jules345]

Une petite aide s'il vous plait ? Merci

[toothpick-charlie]

f est plutôt une fonction de R^2 dans R, du coup ton explication pour la première question est foireuse.

[gg0]

Bonjour.

Pour (x,y) différent de (0,0), il n'y a pas de problème (voir les théorèmes de ton cours). reste le cas particulier, à étudier spécifiquement (définition de différentiable).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jules345]

f est plutôt une fonction de R^2 dans R, du coup ton explication pour la première question est foireuse.

En effet...il y a donc une coquille dans l'énoncé

@gg0 Merci de tes remarques Si je comprends bien pour justifier que f est différentiable sur R^2 je dois montrer que les application partielles x|->f(x,y) et y|->f(x,y) sont C^1 sur R cela suffit ?

Après pour la 3e question je pensais faire le classique f(x+h, y+k) mais sa ne me donne rien de très pertinent

[ansset]

|->0 si (x, y) = (0, 0)

je ne comprend pas bien cette présentation
est-ce f(0,0)=0 ou autre chose.
car il faut savoir si l'énoncé précise si f est définie ou pas en 0

je ne comprend pas non plus la diff entre la 1ère et la dernière question qui se marchent un peu dessus .

[Amanuensis]

En toute vraisemblance la question 3 doit être

3) f est-elle différentiable sur R^2 ?

(En effet on va conclure en 2 qu'elle est continue, et cela donne un exemple de fonction continue non différentiable j'imagine...)

[Amanuensis]

Après pour la 3e question je pensais faire le classique f(x+h, y+k) mais sa ne me donne rien de très pertinent

La première chose à faire est de calculer la différentielle hors (0,0) et de vérifier quelque chose...

Si on fonction est différentiable en un point, que peut-on dire du comportement des dérivées partielles en ce point ?

[jules345]

En toute vraisemblance la question 3 doit être

3) f est-elle différentiable sur R^2 ?

(En effet on va conclure en 2 qu'elle est continue, et cela donne un exemple de fonction continue non différentiable j'imagine...)

Oui désolé vous avez raison, pour calculer la différentielle on a vu dans le cours que f est différentiable en a si f(a+h)=f(a)+l(h)+o(h) ou l(h) est linéaire dois-je calculer f(a+h) ? je pensais que c'était moins fastidieux...

[Amanuensis]

Fastidieux, je ne sais pas. Mais cela me semble plus simple de calculer les deux dérivées partielles et de vérifier ce qu'il faut vérifier.

Ceci dit, personnellement je "triche", pour éviter le fastidieux : je remplace cos y -1 par y²/2, mais c'est parce que je sais expliquer pourquoi...

[ansset]

Ceci dit, personnellement je "triche", pour éviter le fastidieux : je remplace cos y -1 par y²/2, mais c'est parce que je sais expliquer pourquoi...

plutôt -y²/2.
c'est aussi ce que j'aurais fait.
et je pense que comme jules connais la notion du o(xx), il peut s'en inspirer.

[jules345]

Re,

merci à tous les deux pour vos remarques, cependant j'ai encore quelques questions à vous poser, peut-on faire un équivalent pour une fonction de plusieurs variables ? Je pense que oui mais j'aimerai que vous me le confirmiez, car alors je peux utiliser qu'au voisinage de 0 cos(x) est équivalent à 1-x^2/2 ensuite pour la différentiabilité de f sur R^2 privé de (0,0) je calcule f(x+h, y+k) ?

[ansset]

une reponse simple est dans la première phrase du mess#10 d'Amanuensis.
les dérivées partielles