Solution particulière d'équation différentielle du second degré

[Kavey]

Bonjour à tous, j'ai un petit problème pour trouver la solution particulière des équations différentielles...

Comme par exemple dans l'équation : y"+y'−2y=x²e^−2x

J'arrive bien à trouver la solution générale sans second membre, et dans la correction de cette équation on me dit que la solution s'écrit :
y_P = (-x³/9 - x²/9 - 2x/27 ).e^-2x

Mais je ne comprends pas comment la trouver...
Je sais qu'il faut regarder la forme du second membre pour connaître celle de la solution particulière or dans notre cas nous avons un polynôme avec une exponentielle...

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?
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[Seirios]

Bonsoir,

Il me semble que tu as répondu à ta question : étant donnée la forme du second membre, on se dit qu'une solution particulière pourrait être de la forme , avec un polynôme, et alors on trouve la solution particulière que tu as donnée.

Il n'y a pas de méthode vraiment générale pour trouver une solution particulière, alors on y va à l'intuition.

[Kavey]

Merci de ta réponse mais pourrais-tu me détailler le raisonnement pour arriver à trouver cette solution s'il te plaît? Car je ne vois vraiment pas comment faire =/

[Seirios]

En pratique, il suffit d'écrire , d'introduire dans l'équation différentielle, et de trouver les coefficients de par identification.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kavey]

Comment sais-tu que P(x) est au degré 3?

D'après ce que j'ai appris, la forme de la solution particulière est au degré n+1 si c=0 et b différent de 0, or dans notre cas b est bien différent de 0 mais c=-2...

Par ailleurs l'exponentielle ne joue-t-elle aucun rôle sur la forme de la solution particulière?

[Seirios]

Comment sais-tu que P(x) est au degré 3?

L'idéal aurait été de prendre un polynôme de degré deux, seulement -2 est racine simple de l'équation caractéristique de l'équation différentielle. Tu as dû voir dans ton cours que dans ce cas, on ajoute augment de un le degré du polynôme.

Par ailleurs l'exponentielle ne joue-t-elle aucun rôle sur la forme de la solution particulière?

L'exponentielle est importante, d'ailleurs tu dois t'en rendre compte en faisant les calculs pour trouver les coefficients de P, elle permet de se ramener à une équation polynomiale (les exponentielles se simplifient).

[Kavey]

Effectivement, je pense un peu mieux saisir. Je vais essayer de la refaire et je te dirai si j'y suis parvenu!

[Kavey]

Finalement je n'ai toujours pas trouvé...

D'ailleurs dans la correction que j'ai ils ont pris ax³+bx²+cx

Pourquoi ont-il négligé le coefficient d?

De plus je ne comprends pas quand ils écrivent qu'après simplification on a u"-3u' = x

[Kavey]

J'ai trouvé la solution! Merci de votre aide.