Bonjour,
J'aimerai savoir comment calculer la loi suivie par l'argument d'un nombre complexe dont les parties réelles et imaginaires chacune une loi normale ?
Intuitivement, je dirai que l'argument suit également une loi normale. Mais comment puis-je calculer proprement son écart-type ou sa variance en fonction des variances des lois suivies par la partie réelle et la partie imaginaire ?
Merci d'avance,
ASan
ça m'étonnerait que l'argument suive une loi normale. Si par exemple la partie réelle et la partie imaginaire ont pour moyenne 0, le nombre complexe a pour moyenne 0, qui n'a pas d'argument.
tu peux regarder le livre de Mardia.
et il y a des informations ici : http://en.wikipedia.org/wiki/Directional_statistics
Et, si je rajoute la condition que la partie réelle et la partie imaginaire ont des moyennes non nulles (et de variances égales à V pour simplifier les choses) ?
Intuivement, je pense que l'argument suit également une loi normale, centrée en l'argument du nombre complexe moyen (formé des moyennes des parties réelle et imaginaire). Je pense également que la variance de l'argument va donc être dépendre de la valeur de l'amplitude moyenne et de la variance V.
Je pense que la variance que je cherche sera plus faible si l'amplitude est grande. Et si V est faible.
Je n'arrive juste pas à le montrer.
Ah ! Je viens d'avoir une idée. Le sinus de l'argument est égal au rapport de la partie imaginaire sur l'amplitude. Je peux donc trouver la variance du sinus de mon argument et essayer d'en déduire la variance de l'argument.
si les deux coordonnées sont indépendantes et suivent des lois normales centrées réduites, le carré de la norme suit la loi du chi2 à 2 degrés de liberté. Si les coordonnées ne sont pas centrées tu vas avoir une loi du chi2 décentrée, dont on sait exprimer la densité. Dans ce cas, pour le sinus de l'argument il te faut exprimer la loi du rapport entre une variable normale et la racine carrée d'un chi2 décentré.
Dans mon cas, je sais que l'amplitude suit une loi gaussienne de variance égale à celle des parties réelles et imaginaires.
Ainsi, pour le sinus de l'argument, il me faut exprimer la loi du rapport entre deux variables gaussiennes.
D'ailleurs, une fois que ce sera fait, je pense utiliser l'écart-type du sinus puis les formules de théorie de propagation des erreurs pour en déduire l'écart-type (puis la variance) de l'argument. Qu'en penses-tu ?
je serais curieux de voir la démonstration de ce fait.Envoyé par ASan78
C'est simplement une hypothèse, que je n'ai peut-être pas assez clairement dite plus haut.
En fait, j'ai un nombre complexe moyen disons.
Je définis ensuite autour de ce nombre complexe moyen une "zone d'incertitude", qui est une boule de diamètre V (qui représente en quelque sorte un écart-type). Je tire donc des nombres complexes aléatoires avec une loi gaussienne à deux dimensions centrée en
En projetant cette boule d'incertitude sur l'axe des x et des y, je vois que les variables aléatoires associées à x et y suivent une loi gaussienne de variance
Seulement, je ne peux pas faire la même chose pour l'argument (qui ne correspond pas à une "direction").
Mon problème est donc de connaître la variance de l'argument de mes nombres complexes aléatoires.
D'ailleurs, après m'être renseigné, l'argument ne semble pas suivre une loi gaussienne.
pour les projections ok, pour l'amplitude (la norme) c'est faux. Comment le démontres-tu?En projetant cette boule d'incertitude sur l'axe des x et des y, je vois que les variables aléatoires associées à x et y suivent une loi gaussienne de variance
Si on fait une rotation du repère d'un angle égal à l'argument, on voit que l'amplitude correspond maintenant au nouvel axe des x.
En faisant encore une fois une projection sur l'axe des x, on retrouve la même loi (vu que ma boule n'a pas changé pas rotation).
Est-ce une erreur de raisonnement ?
c'est une erreur de raisonnement en effet : ta rotation dépend des valeurs aléatoires.
Pourtant, l'argument que j'ai donné est vrai pour n'importe quelle rotation.
Peu importe la rotation du repère, si on projette sur l'axe des x (ou des y d'ailleurs), la variable associée aura toujours une variance égale à V^2. Et, à priori, il n'y a aucune raison pour que ce ne soit plus une loi gaussienne.
Edit : Orthographe
si je considère une variable aléatoire X et m un nombre fixe (non aléatoire). Si X suit la loi normale N(mu,sigma), alors X-m suit la loi normale N(mu-m,sigma). Mais si maintenant je considère un nombre aléatoire M, et que M dépend de X, par exemple M=X, alors X-M est constant égal à 0, et donc ne suit pas une loi normale de variance sigma^2. La situation n'est pas du tout la même que précédemment. Tu raisonnes sur une rotation aléatoire comme si c'était une rotation fixe.
Hum, je vais cogiter sur ton message, je ne saisis pas très bien pourquoi ça cloche dans mon cas.
En tout cas, merci pour tes réponses rapides.
ASan
A cause de la courbe de la loi Normale ...je ne saisis pas très bien pourquoi ça cloche dans mon cas.
Bon, c'est nul, mais je n'ai pas pu résister
