Equation d'un plan à partir de 3 points ...

LocalStone · 15/05/2006 - 00h40

Bonsoir à tous ...
Alors voilà, je cherche tout simplement à trouver l'equation d'un plan à partir de 3 points appartenant à ce plan. Jusque là, rien de très compliqué ... Mais j'ai un problème. Je dois surement passer à côté de quelque chose de débile, mais je comprends pas d'où vient le problème ...
$Soient\, 3\, points\, A\, =\, (a_1,a_2,a_3)\, B\, =\, (b_1,b_2,b_3)\, C\, =\, (c_1,c_2,c_3)\, et\, le\, plan\, P\, :\, \alpha x+\beta y+\gamma z = 0$
Les 3 points sont dans le plan, on a donc le système suivant :
$\.{\alpha a_1 + \beta a_2 + \gamma a_3 = 0\\\alpha b_1 + \beta b_2 + \gamma b_3 = 0\\\alpha c_1 + \beta c_2 + \gamma c_3 = 0}\}$
Que l'on peut écrire matriciellement :
$\array{a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3}\) $ \array{\alpha\\ \beta\\ \gamma}$=$ \array{0\\ 0\\ 0}$
D'où en supposant que la matrice est inversible et que tout va bien ... C'est à dire si les 3 points sont non alignés et bien dans le plan :
$\array{\alpha\\ \beta\\ \gamma}$=\( \array{0\\ 0\\ 0}$
Sauf que ça, c'est pas trop normal

... Qu'est ce qui ne va pas dans ce raisonnement ?
Merci pour vos réponses !
++ !
L.S.

jreeman · 15/05/2006 - 02h11

Envoyé par LocalStone

...
$le\, plan\, P\, :\, \alpha x+\beta y+\gamma z = 0$
...

Plus exactement, c'est une équation du plan qui passe par l'origine.

De plus, le problème vient du fait que tu considères que la matrice est inversible, donc que A, B, C forment une base, ce qui est faux car par définition les trois vecteurs sont dans le plan.

fderwelt · 15/05/2006 - 05h45

Envoyé par jreeman

Plus exactement, c'est une équation du plan qui passe par l'origine.

De plus, le problème vient du fait que tu considères que la matrice est inversible, donc que A, B, C forment une base, ce qui est faux car par définition les trois vecteurs sont dans le plan.

Bonjour,

Doublement bien vu...

Question 1 (que je propose en exo, moi je connais la réponse): quelle est la condition pour que le plan déterminé par 3 points non alignés passe par l'origine?

Question 2 (encore plus fastoche): la matrice citée dans le post initial est évidemment non inversible, quel est son rang? idéalement, en vrai?

-- françois

manup · 15/05/2006 - 05h59

Salut,
le problème selon moi (modestement

) vient de l'interpretation de l'équation de départ et puis du sens de l'écriture matricielle. Ce n'est pas une équation d'un plan telle une équation de droite et il ne faut donc pas la traiter comme telle. En fait c'est l'équation implicite d'un plan, et l'on doit donc faire attention au sens de ce que l'on fait.
Une équation d'un plan serait bêtement :

$z = f(x,y) = A\, \cdot\, x\, + B\, \cdot\, y$

tant qu'une base orthonormale est définie (en gros t'a 3 vecteurs). Je pense que la forme implicite est souvent utilisée pour sa généralisation pratique aux hyperplans (dimensions > 3). Si tu reprends ton système linéaire avec :

$c_1 = A\, \cdot\, a_1\, + B\, \cdot\, b_1$
$c_2 \ (blabla...)$

tu vois que ton système est surdéterminé (3 équations 2 inconnues); (donc) que la résolution à 3 éq. est inutile; (donc) que ton écriture matricielle n'a pas de sens (si mais on verra plus tard); donc ton problème s'arrête là.
La résolution te donne ,shazaam....

$A = {\displaystyle {\alpha \over (-\gamma) } \qquad B = {\beta \over (-\gamma)} }$

que l'on réécrit comme nouveau point de départ dans la littérature:

$\alpha \, x + \beta\, y + \gamma\, z = 0$

Et c'est là où je dis fébrilement que je vois pas en quoi le plan y devrai passer par zéro mais je suis pas sûr et j'ai la flemme de vérifier

.

Mais si tu à pris la pillule bleue et que tu est resté dans la matrice (

), alors chaque ligne ou colonne (n'importe) est un vecteur exprimé dans la base canonique du plan. Or tu n'a que deux vecteurs qui génèrent un plan comme dirais le jreeman et donc les vecteurs de ta matrice sont liés, ils ne sont pas tous les trois constitutifs de la base. $base\ :\ \vec{AC} & \vec{AB}$ . Rééllement ta matrice est 3*2 et tu ne peux résoudre $\alpha\, \beta\, \gamma$ . Si tu veux en faire quelque chose, il faut raisonner autrement :
- les vecteurs sont liés (la matrice n'est pas inversible) : le déterminant doit être nul;
- le volume généré par la produit mixte des 3 vecteurs est nul puisqu'ils sont dans le même plan : le déterminant doit être nul;

L'une des forme du déterminant s'écrit lorque qu'on le calcul judicieusement selon les coordonnées d'un de points (ici le 3ème) :

$c_1 \cdot (a_2\,b_3 - b_2\, a_3) + c_2 \cdot (b_1\, a_3 - a_1\, b_3) + c_3 \cdot (a_1\, b_2 - b_1\, a_2) = 0$

soit

$c_1\, \cdot \alpha + c_2\, \cdot \beta + c_3\, \cdot \gamma = 0$

Soit l'équation vérifiée pour un point c qui n'est pas (0,0,0) au passage et donc les coeff résolus. Calcule la première méthode avec le système a et b pour tant convaincre.

vlà, j'espère que ça ta aidé mais cf quelqu'un d'autre pour des explications solides en algèbre.

manup · 15/05/2006 - 06h21

ERRATUM (arff!):

l'équation d'un plan serait
$z=A\cdot\, x + B\cdot\, y + z_0$
bien sûr...
et là le plan ne passe pas par 0 pour z0<>0 (ok!) car il est vrai que sinon z(0,0)=0 !
J'ai pas refait le calul mais je sais que l'équation implicite est alongée d'un ...+Cte = 0
pardon!

pwner · 09/04/2011 - 16h00

je pense qu'en cherchant un vecteur normal avec le produit scalaire ce serait plus facile

imess · 19/04/2011 - 08h00

Bonjour

pourquoi ne fais-tu pas simplement AB^AC ?
imess

blablatitude · 19/04/2011 - 09h53

Envoyé par LocalStone

Que l'on peut écrire matriciellement :
$\array{a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3}\) $ \array{\alpha\\ \beta\\ \gamma}$=$ \array{0\\ 0\\ 0}$
D'où en supposant que la matrice est inversible et que tout va bien ... C'est à dire si les 3 points sont non alignés et bien dans le plan :
$\array{\alpha\\ \beta\\ \gamma}$=\( \array{0\\ 0\\ 0}$

Ah bon ?
J'aurais juste dit que $\array{\alpha\\ \beta\\ \gamma}$ appartient au noyau de la matrice perso ...

marion.vergnet · 26/03/2013 - 12h42

Salut,

Je te conseille de visionner la deuxieme vidéo de cette séquence qui explique pas-à-pas comment on fait :

http://www.uneminutepourcomprendre.o...arthesienne-2/

n'hésite pas si tu as d'autres questions

Marion

gg0 · 26/03/2013 - 19h01

Quelques éléments de réflexion :

* L'équation générale d'un plan est ax+by+cz+d=0, où (a,b,c) n'est pas le triplet nul. Pour k non nul, kax+kby+kcz+kd=0 est aussi une équation du même plan. On de détermine donc les coefficients a, b, c et d qu'à un facteur multiplicatif près.
* Le vecteur (a,b,c) est orthogonal au plan, comme tous ses multiples (ka,kb,kc).
* Connaissant 3 points distincts du plan, il est facile (produit vectoriel) de fabriquer un vecteur orthogonal du plan, qu'on peut donc prendre comme le vecteur (a,b,c).

Cordialement.

NB : Attention Manup, le plan d'équation x+2y+0z+3 = 0 n'a pas une équation de la forme z= ...