suite recurrente

[kaderben]

Bonjour
On donne : la suite U définie par Uo=-5 et U(n+1)=V(6+Un)
On demande les variations de U et la convergence

U(n+1) – Un= V(6+Un)-Un= -(Un)² + Un +6/( V(6+Un)+Un)
U1=V(6-5)=1 donc U1>0
A partir du rang 1, supposons que Un>0
Un>0, Un+6>6, V(Un+6)>V(6), donc U(n+1)>0, alors pour tout n>=1, Un>0
Ce qui fait V(6+Un)+Un >0
Signe de -(Un)² + Un +6 :

Un=x….....I…………-2……U1=1………3

-x²+x+6..I….-…….0………+………....0

U1=1<3
Supposons que Un<3
Un+6<9, V(Un+6)<V(9)=3, donc U(n+1)<3
D’ou pour tout n, Un<3

Coclusion : Pour n>=1, U est strictement croissante et majorée par 3, donc lim U=3

Je ne sais pas si tout ça est bien correcte et n n’apparaît pas dans le tableau de signe.

Merci pour vos commentaires
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[gg0]

Bonjour.

A la 7^ième ligne, le "donc U(n+1)>0" est une affirmation. Aucune règle n'est évoquée, ce qui précède est vrai mais sans lien direct avec la conclusion.
Plus gênant, le fait que u_n+1 est positif est une évidence, la fait qu'il existe n'en est pas une !!

Donc le premier travail est de justifier que u_n existe toujours, et si c'est vraiment nécessaire, qu'il est non nul, mais est-ce nécessaire ?

Sinon, le fait que n n'apparaisse pas dans le tableau de signe est normal, ce tableau parle d'autre chose : Regarde !

Cordialement.

[kaderben]

U1=V(6-5)=1 donc U1>0
Par recurrence:
A partir du rang 1, supposons que Un>0
Un>0, Un+6>6, Un+6>0, V(Un+6) existe, c'est à dire U(n+1) existe et par hérédité
tout n>=1, Un existe.

J'ai commis une erreur en affirmant que lim U=3

Je corrige: si U a une limite l alors Un et U(n+1) ont la même limite l
l=V(l+6)
l²-l-6=0
soit l=3 (solutiont positive car Un>0)

Au fait le n implicite c'est pour ça il n'apparait dans le tableau

[gg0]

Pour ta récurrence, l'hypothèse de récurrence (un>0) n'est pas la conclusion !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[kaderben]

l'hypothèse de récurrence: Un existe