Primitive de cette racine?

[EspritTordu]

Merci PA5CAL. Je n'avais pas vu la manipulation sur la somme des carrés des fonctions sinus et cosinus de cette manière. Merci beaucoup.
-----

[Amanuensis]

En mode avancé, la fonction "prévisualisation" permet de se passer en grande partie de l'édition après envoi... C'est de loin la meilleure approche pour gérer les bizarreries de l'analyseur LaTeX...

[Elie520]

Voila du tout fait :

Considère la fonction
Tu la dérives, et tu auras ta réponse.

Cordialement.

NB : J'ai procédé par changement de variable.

Je n'ai pas tout lu, mais je voulais juste dire que ce résultat s'obtient aussi par intégration par partie, outil que tu possèdes surement.

[EspritTordu]

Oui je vois en passant par la primitive de l'arccos.

[Elie520]

Oui je vois en passant par la primitive de l'arccos.

Je ne pensais pas à ca. pouvez vous me montrer ?

[EspritTordu]

Je me suis trop avancé vite : le calcul tourne évidemment en rond et n'aboutit pas.

(sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Arc_cos)

[Elie520]

C'est bien ce qu'il me semblait ^^ Je vous dis donc ce à quoi je pensais :

IPP en intégrant 1 et en dérivant racine (1-x^2). Ensuite, vous faites "+1 moins 1" au numérateur, apparait alors d'une part l'intégrale recherchée avec un signe - et d'autre part une primitive valant arccos. Il ne reste plus qu'à passer l'intégrale cherchée de droite à gauche et à diviser par deux.

Cordialement.

[EspritTordu]

Que voulez-vous dire par "+1 -1 au numérateur"?

[Elie520]

Ben écrivez f(x)/g(x)=(f(x)-1 +1)/g(x)=(f(x)-1)/g(x)+1/g(x).

Vous devriez trouver avec cela.

[EspritTordu]

Merci beaucoup Elie520. J'ai trouvé la solution par cette voie. Une autre voie que la belle démonstration de PA5CAL. Semble-t-il trois voies pour un même résultat...cela laisse pensif, non?

Selon :


(http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%...on_par_parties)

En prenant et donc , cela donne :


(1)




On s'arrête un instant sur

avec et

On applique "+1-1 au numérateur" (je ne connaissais pas, mais c'est bien astucieux!) tel que :



donc,



d'où finalement,



On s'arrête encore un instant, désormais sur (issue de (1))



d'où finalement,




En revenant en fin à l'équation initale (1) ainsi préalablement éclairé,


soit,








d'où en fin de fin le résultat recherché

(C'est l'opposée de celle de gg0, non?)

On considère a=0 et b=1 et on retrouve bien





Ouf (je ne sais pas si c'est pour la mathématique ou bien pour rédiger en Tex tout ce message!) En espérant ne pas avoir fait d'erreur dans le calcul ou la rédaction du message.

[EspritTordu]

Pourquoi dans ma rédaction Tex, j'ai des x qui sont écris de deux manières différentes? C'est un problème du forum ou de mon codage Tex?

Ma motivation initiale pour ce message était l'interrogation sur l'apparition de pi dans l'intégration d'une équation, certes irrationnelle (comme pi d'ailleurs), qui en était dépourvue. Le pi apparaît en cours de calcul, d'une méthode ou d'une autre, par l'apparition de fonctions circulaires arccos ou arcsin. C'est vrai que piest indissociable des fonctions trigonométriques définies dans un cercle où, justement, la définition courante de pi s'y fait depuis la circonférence et le diamètre du dit cercle.

Aussi j'ose poser la question :

Peut-on intégrer sans passer par une fonction trigo? Et ainsi expliquer autrement pi....

[topmath]

bsr va falloire réviser les formules classique en trigonométrie avons de procéder à l’intégrale merci.

[Suite2]

Je n'ai pas lu en détail profond tout ce qui a été dit ici.

Revenons a l'interprétation initiale de la construction de Riemann de l'intégrale. En faisant un dessin de l'application , on voit un quart de cerle. Comment le montrer me diriez-vous ? Soit le point (x, f(x)) qui est un point de la courbe de f. Il est assez clair que . De ce fait on est en train de calculer la surface d'un quart de cercel de rayon 1.

Pi/4 ?

Voilà une solution sans changement de variable.

[gg0]

C'est un peu dommage que tu n'aies pas lu le début, car tu rates le sujet de ce fil : "comment l'intégration fait apparaître Pi ?". Car ce que tu viens d'expliquer était connu par tous du début.

C'est amusant, ces réponses à une question qui n'est pas posée (deux en 10 jours).

Cordialement.

[gg0]

Pour Esprit Tordu :

Tu n'as pas eu de réponse à ta question simplement parce qu'elle est trop vaste. Il existe des méthodes, par exemple avec des séries, mais elles reviennent à utiliser des fonctions trigonométriques sans le dire. Tu as donné toi même, dans ton message les raisons qui font qu'on y arrivera, qu'on le veuille ou non : Cercle, angles et pi sont intrinsèquement liés.

Maintenant, si tu cherches d'autres façons de voir le nombre pi, il y en a énormément (tout un bouquin de JP Delahayes par exemple), et des pleines pages web. Il suffit de chercher. Mais l'idée que tu as eue est loin d'être originale, et des millions de personnes l'ont eues et certaines l'ont exploitée utilement.

Cordialement.

[topmath]

bsr on a déjà répondu juste à cette question et c'est Amanuensis qui à résolut ça merci