Dirac d'un nombre complexe

[coussin]

C'est encore moi
Je tombe maintenant sur un truc un peu délicat...

Je me retrouve à étudier la quantité suivante (j'étudie ça malheureusement numériquement, c'est pas analytique) :
. En fonction du paramètre gamma qui tend vers 0, cette intégrale tend vers f(0). Bon, je me dis que mes fonctions g_gamma(x) tendent vers un delta et ça y ressemble effectivement (quand je trace, c'est effectivement un pic qui devient de plus en plus étroit et de plus en plus haut).
Le problème est que je sais par une autre méthode que l'intégrale ci-dessus, pour gamma exactement égal à 0, ne vaut pas f(0). Il y a bel et bien une discontinuité car mes fonctions g_gamma(x) dependent d'une quantité, appelons la , que je sais être délicate dans le sens où :


Comment concilier cette discontinuité dans la valeur de mon intégrale avec une fonction delta ? Suis-je ici dans un cas où la théorie des distributions ne peut pas être appliquée ?

Merci d'avance
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[Tryss]

Comment concilier cette discontinuité dans la valeur de mon intégrale avec une fonction delta ? Suis-je ici dans un cas où la théorie des distributions ne peut pas être appliquée ?

Merci d'avance

Il faut bien faire attention, toutes les notions de convergence ne sont pas compatibles entre elles.
Ça n'est pas parce qu'une suite de fonctions u_n tend vers une fonction v pour un certain type de convergence, que cette suite u_n va converger vers cette même fonction pour un autre type de convergence.

Par exemple la famille de fonctions




a pour limite au sens de la convergence ponctuelle (presque partout),
a pour limite au sens des distributions


Donc si tu travailles sur des distributions, il faut utiliser soit la convergence au sens des distributions, soit des convergences qui impliquent la convergence au sens des distributions

Lorsque tu écris, à x fixé , tu écris en fait une convergence ponctuelle, et cette dernière n'implique pas la convergence au sens des distributions.


Les différents type de convergence sont quelque chose d'assez fondamental en analyse, et on joue beaucoup là dessus. Après, ça n'est pas quelque chose de trivial ni d'aisé à bien comprendre


Au passage, il n'existe pas de fonction telle que pour toute fonction f continue.

[Armen92]

C'est encore moi
Je tombe maintenant sur un truc un peu délicat...

Je me retrouve à étudier la quantité suivante (j'étudie ça malheureusement numériquement, c'est pas analytique) :
. En fonction du paramètre gamma qui tend vers 0, cette intégrale tend vers f(0). Bon, je me dis que mes fonctions g_gamma(x) tendent vers un delta et ça y ressemble effectivement (quand je trace, c'est effectivement un pic qui devient de plus en plus étroit et de plus en plus haut).
Le problème est que je sais par une autre méthode que l'intégrale ci-dessus, pour gamma exactement égal à 0, ne vaut pas f(0). Il y a bel et bien une discontinuité car mes fonctions g_gamma(x) dependent d'une quantité, appelons la , que je sais être délicate dans le sens où :


Comment concilier cette discontinuité dans la valeur de mon intégrale avec une fonction delta ? Suis-je ici dans un cas où la théorie des distributions ne peut pas être appliquée ?

Merci d'avance

La définition standard est :

la limite étant extérieure à l'intégrale.
Si je comprends bien la question, le calcul numérique semble indiquer que tend vers un Dirac (avez-vous vérifié sa norme ? Comment la nature de cette limite dépend-elle de la quantité auxiliaire ?). Dès lors, on peut appliquer la définition ci-dessus et le résultat est .
Dans votre cas, compte tenu de la non-commutativité des limites, je ne vois pas en quoi la théorie des distributions peut être utile, et le résultat n'a en effet aucune raison d'être égal au précédent.
La seule issue me semble être l'étude directe de l'intégrale en respectant impérativement l'ordre des limites, sans doute imposé par le contexte (physique ?).

[coussin]

Merci pour vos réponses
J'ai quelques infos supplémentaires, la situation est en fait un peu différente à ce que je pensais d'abord.

Voici ma suite de fonctions :

Pièce jointe supprimée

La fonction qui pique le plus à droite est pour (peu importe…), puis de droite à gauche pour , etc… D'abord, ce sont des pics en échelle logaritmique (l'abscisse). En échelle linéaire, ce serait en fait des pics très dissymétriques. Une bonne approximation est de dire que ça pique à avec une largeur à mi-hauteur qui va de à . Le maximum, par contre, est constant. Ce qui m'a trompé est que mon autre fonction est elle connue et vaut et diverge en .

C'est donc finalement le produit qui tend vers un pic de plus en plus étroit et de plus en plus haut, d'aire constante quand .

Puis-je alors dire que tend vers ? Avec ces fonctions, il me semble clair que je ne reproduirait pas la discontinuité que j'observe à . Je dois encore réfléchir sur ce point (tout ça n'est pas aisé pour moi qui ne suis « que physicien » )

[JPL]

Les images doivent être postées dans un format graphique. Merci.

[coussin]

Les images doivent être postées dans un format graphique. Merci.

OK, voilà



(J'avais vu « extensions de fichiers valides : PDF » dans l'interface d'upload…)

[JPL]

(J'avais vu « extensions de fichiers valides : PDF » dans l'interface d'upload…)

Oui mais il faut lire aussi ce qui est en tête du forum : http://forums.futura-sciences.com/ma...s-jointes.html

[coussin]

Je pense avoir trouvé l'origine de ma « discontinuité » en .
Malgré le fait que ne dépend pas de , on ne peut pas l'inverser avec la limite …
Dans un cas :

Dans l'autre :

Dans le deuxième cas, je sais pas trop dire vers quoi tend mais ça fait des pics de hauteur constante mais de largeur tendant vers 0.

C'est quelque chose comme ça je pense…

[Jac]

Chers amis, connaisez-vous la distribution de Dirac complexe ? C'est une fonctionnelle dans C.
À ne pas confondre avec ce qu'on a appelé ici par "Dirac d'un nombre complexe".
La discussion peut être basée sur l'article intitulé DISTRIBUTION DE DIRAC COMPLEXE archivé sur HAL.
Qu'en pensez-vous ?
Jac

[Anonyme007]

Bonjour,

J’ai parcouru vite ton document sur HAL, mais, je n’ai pas vu un seul argument qui montre que ton Dirac complexe que tu as inventé, prolonge le Dirac réel de Laurent Schwartz sur tout le plan complexe.

[Jac]

Cher Anonyme 007j
Merci de tes remarques constructives, j’en tiendrai compte. Pour discuter, précisons la terminologie concernant la distribution de Dirac et la fonction de Dirac.
Commençons par la distribution.
La distribution de Dirac traditionnelle est une fonctionnelle dans R, qui attribue une valeur réelle, notée φ(r0) à la fonction φ de la variable réelle x.
La distribution de Dirac complexe est une fonctionnelle dans C, qui attribue une valeur complexe à la fonction φ de la variable réelle x.
Passons à la fonction de Dirac.
Par l’une des définitions, la fonction de Dirac traditionnelle est la somme de TOUTES les ondes planes notées Exp ik(x-x0), TOUTES veux dire que la fréquence k appartient à [-∞, ∞]. Le spectre de la fonction de Dirac traditionnelle (sa transformée de Fourier) est plat et il s’étale sur TOUT l’axe des fréquences k, depuis -∞ à ∞.
Pour obtenir la fonction de Dirac complexe à partir de la fonction de Dirac traditionnelle, on annule (dans le spectre infini de la fonction de Dirac traditionnelle) les amplitudes des ondes dans les 2 intervalles « étroits » situés aux 2 extrémités du spectre (-∞, ∞) du delta traditionnel. Plus précisément, on annule le spectre « autour » des 2 infinis, dans les 2 intervalles [-∞, -1/ε] et [1/ε, ∞] avec ε→0.
Autrement dit, le spectre de la fonction de Dirac complexe est quasi-infiniment large, mais limité par la valeur 1/ε → ∞, qui est la plus haute fréquence dans le spectre de la fonction de Dirac complexe (je préconise 1/ε=fréquence de Planck).
Revenons aux distributions.
La distribution de Dirac traditionnelle, notée δ ̂(x-x0), δ avec « chapeau », agit comme suit sur la fonction φ(x).
δ ̂(x-x0) [φ(x)] = φ(x0)
La distribution de Dirac complexe, notée Cδ ̂(x-x0), Cδ avec « chapeau » et avec C comme complexe, agit comme suit sur la fonction φ(x).
Cδ ̂(x-x0) [φ(x)] = φ(x0) + i Δφ(x0)
où Δφ(x0) est le saut de la fonction φ discontinue en x0.

Ainsi la fonction de Dirac complexe prolonge bien la fonction de Dirac réelle (de Schwartz) sur tout le plan complexe (c’est l’objet de ton intervention).
Pour améliorer ma démonstration, je voudrais présenter les jolis graphes de la fonction de Dirac complexe [montrés dans le document HAL], mais je dois apprendre d’abbord l’interface graphique sur ce Forum.
Ces graphes (et les justifications associés) montrent comment la fonction de Dirac complexe se réduit à la fonction de Dirac traditionnelle si on l’intègre sur TOUTES les fréquences d’ondes planes (ε=0), pas seulement sur la QUASI-TOUTES des fréquences (ε≠0). Dans le cas (ε=0) la partie imaginaire disparait toit simplement.
Admirons la précision de la fonction de Dirac. La somme de TOUTES les ondes complexes est réelle, car la somme de tous les sinus est nulle.
Exp ik(x-x0) = Cos k(x- x0) + i Sin k(x- x0)
Mais si on annule dans cette somme (réelle) ne serais qu’une seule amplitude au point k0, alors il apparaitra la dimension imaginaire du delta complexe, dimension complètement vide sauf en un seul point où apparaitra une amplitude complexe.
On détruit une amplitude dans le domaine réel, et il apparaît une amplitude dans le domaine complexe. Rien ne se perd !
A bientôt.
Jac.

[Anonyme007]

Bonsoir Jac,

J'ai du mal à te suivre,

Pour obtenir la fonction de Dirac complexe à partir de la fonction de Dirac traditionnelle, on annule (dans le spectre infini de la fonction de Dirac traditionnelle) les amplitudes des ondes dans les 2 intervalles « étroits » situés aux 2 extrémités du spectre (-∞, ∞) du delta traditionnel. Plus précisément, on annule le spectre « autour » des 2 infinis, dans les 2 intervalles [-∞, -1/ε] et [1/ε, ∞] avec ε→0.
Autrement dit, le spectre de la fonction de Dirac complexe est quasi-infiniment large, mais limité par la valeur 1/ε → ∞, qui est la plus haute fréquence dans le spectre de la fonction de Dirac complexe (je préconise 1/ε=fréquence de Planck).

Peux tu transformer ce petit pavé ci-dessus sous la meme forme qui se trouve sur le lien suivant, https://fr.wikipedia.org/wiki/Valeur...pale_de_Cauchy , pour me faciliter la compréhension ? Parce que ton texte est trop littéraire.

Merci.

[Jac]

Cher 007
Excuses, car ma pédagogie n’était pas la meilleure dans l’article HAL. Je reprends donc la discussion au point que tu as souligné, à savoir la valeur principale au sens de Cauchy. Je cite pour cela un extrait d’un appendice du célèbre livre Mécanique Quantique de A. Messiah :
A toute fonction localement sommable f correspond une distribution ^f [f avec chapeau] définie par le produit scalaire
^f[φ] = ∫ f(x) φ(x) dx = < φ*, f >
A la fonction 1/x n’est associée aucune distribution puisque cette fonction n’est pas sommable au point x=0. Mais on peut définir la distribution
PP1/X[φ] = PP ∫ (φ(x))/xdx
où PP désigne la partie principale au sens de Cauchy de l’intégrale qui se trouve à sa droite :
PP∫dx = lim(ε→0){∫de -∞ à -ε dx + ∫de +ε à +∞ dx}〗
La fonction de Dirac δ(x-x0) définit la distribution
δ(x-x0) [φ] = φ(x0)
Ici Messiah parle de la fonction et de la distribution de Dirac traditionnelles. La fonction de Dirac traditionnelle est définie comme somme de toutes les ondes planes complexes, chacune caractérisée par sa fréquence spatiale k.
δ(x-x0) = 1/2π ∫ Exp[ik(x-x0)]dk

Dans mon précédent message j’ai commis erreur de préciser qu’il existe 2 fonctions de Dirac complexes Cδ (C comme complexe) : l’une Cδ+ (plus pour les fréquences positives) et l’autre Cδ- (moins pour les fréquences négatives).
Cδ+(x-x0) = lim(ε→0) 1/4π ∫de 0 à 1/ε Exp[ik(x-x0)]dk
Cδ-(x-x0) = lim(ε→0) 1/4π ∫ de -1/ε) à 0 Exp[ik(x-x0)]dk
La fonction de Dirac traditionnelle est une limite (ε=0) qui « mélange » les fréquences positives et les fréquences négatives, ce qui est réducteur d’un certain point de vue. En physique les fréquences négatives correspondent au retournement de la flèche du temps et à l’antimatière, donc là aussi on a intérêt à séparer les fréquences négatives des fréquences positives.
De manière analogue à la définition (1) ci-dessus de Messiah, les 2 fonctions de Dirac complexe (Cδ+, Cδ-) définissent 2 distributions complexes (^δ+, ^δ-)
^δ+[φ(x)] = ∫ Cδ+(x-x0) φ(x) dx = φ(x0) + i Δφ(x0)
^δ-[φ(x)] = ∫ Cδ-(x-x0) φ(x) dx = φ(x0) - i Δφ(x0)
Où le symbole Δφ(x0) signifie le saut de la fonction φ au point x0.

La fonction de Dirac complexe permet ainsi de traiter les fonctions oscillant violemment et à très haute fréquence, à l’approche d’une singularité ou d’une discontinuité, ce qui constitue à mes yeux son principal intérêt.

Excuses, car je je maitrise pas l'éditeur des équations mathématiques sur ce forum. Je fais copié-collé du Word, mais ça déforme l'écriture des intégrales. Donc j'ai dû "bricoler", j'espère que tu comprendras. Sinon, tout est clair (j'espère) dans l'article HAL (taper : distribution de Dirac complexe dans le Google).
Si tu es toujours intéressé par ce sujet, je serais infiniment reconnaissant de tes remarques.
A bientôt.
Jac

[Anonyme007]

Bonsoir Jac,

Merci pour toutes ces explications sur tes découvertes.
Je n’arrive pas à trouver le livre de Messiah en accès libre sur le net.
Est ce que tu peux m'indiquer un seul lien sur le net où l'on précise que la fonction Dirac s'exprime par, , autre que le livre de Messiah ?
Quelles sont les bornes de cette intégrale ?
Est ce que, est un vecteur spatial ?

Merci d’avance.

[Anonyme007]

D’accord, je comprends,
Dans, ,
( Transformée de Fourier de la fonction constante, )

[Anonyme007]

De manière analogue à la définition (1) ci-dessus de Messiah, les 2 fonctions de Dirac complexe (Cδ+, Cδ-) définissent 2 distributions complexes (^δ+, ^δ-)
^δ+[φ(x)] = ∫ Cδ+(x-x0) φ(x) dx = φ(x0) + i Δφ(x0)
^δ-[φ(x)] = ∫ Cδ-(x-x0) φ(x) dx = φ(x0) - i Δφ(x0)
Où le symbole Δφ(x0) signifie le saut de la fonction φ au point x0.

est une fonction test, qui est de classe ... D'où, n'a pas de saut en ( i.e, ). N'est ce pas ?

[Jac]

Cher 007
Je n’ai pas pensé à ces fonctions test discontinues avant. Bravo, tu as pointé le sujet peut-être central des fonctions discontinues.
Mais revenons à la discussion précédente. La fonction de Dirac traditionnelle est la somme de toutes les ondes planes. Toutes les ondes veulent dire que la sommation se fait sur toutes les fréquences spatiales k (nombre des périodes par mètre), ou temporelles ω (nombre des périodes par mètre). Il existe aussi un quadrivecteur (kx, kx, kx, ω), mais les démonstrations principales peuvent être faites en une seule dimension.
Je ne connais pas de link qui conduit à l’expression mathématique de la somme de toutes les ondes complexes planes. C’est égal à un sur 4 pi intégrale infinie sur k des ondes Exp[ik(x-x0)]. Je tiens cette formule de l’autre « bible » classique de la mécanique quantique de Claude Cohen-Tannoudji (un Prix Nobel).
Revenons aux fonctions « test » discontinues que tu as soulevé.
Je n’ai pas pensé avant comment agit la distribution de Dirac complexe placée en x0, sur une fonction φ discontinue en x0 ? As-tu réfléchit à ça ? Suite à ton intervention, j’y ai réfléchi. Mon avis, vrai ou faux, est le suivant.
On peut montrer que la fonction de Dirac complexe se réduit à la fonction de Dirac traditionnelle quand ε=0. Dans ce cas la partie imaginaire, de la fonction de Dirac complexe, disparait, et il ne reste que la partie réelle identique à la fonction de Dirac traditionnelle. On peut donc se baser sur une analogie entre les 2 fonctions (traditionnelle, complexe).
Conformément à cette analogie, l’action de la distribution de Dirac traditionnelle placée en x0, sur une fonction φ discontinue en x0, cette action donnera (selon moi) la valeur de la moyenne arithmétique de 2 valeurs de la fonction φ au point de discontinuité. Le sens commun protestera en disant qu’en point x0, la valeur de la fonction φ est indéfinie.
Eh ben, oui… c’est peut-être là aussi le force des distributions de Dirac.
J’espère que tu trouves quelque chose de pertinent dans cette affaire.
PS. Comment puis-je apprendre l’interface graphique et l’éditeur des formules mathématiques de ce forum.
Bien à toi et aux autres.
Jac

[stefjm]

Cher 007
Conformément à cette analogie, l’action de la distribution de Dirac traditionnelle placée en x0, sur une fonction φ discontinue en x0, cette action donnera (selon moi) la valeur de la moyenne arithmétique de 2 valeurs de la fonction φ au point de discontinuité. Le sens commun protestera en disant qu’en point x0, la valeur de la fonction φ est indéfinie.
Jac

Comme du Dirichlet avec Fourier...

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...es_de_Fourier)

[Jac]

Cher Stefjm
Merci de tes lumières : Je ne conaisais pas (ou plus) le théorème de Dilichlet. Pour le noayeau de Dirichlet, je savais qu'à la limite, cela donne la fonction traditionnelle de Dirac.
Bonne navigation dans les maths, quitte à s'y perdre.
À bientôt.
Jac