Dirac d'un nombre complexe

[coussin]

Salut

J'ai cherché un peu si la fonction Dirac d'un nombre complexe a un sens et je suis tombé sur des trucs bien compliqué finalement Y a apparemment pas de consensus si ça a du sens (corrigez-moi si je me trompe...)

Je suis plutôt intéressé si ça a un residu et si oui lequel. D'abord, est-ce que ça se comporte comme , je sais même pas ??

Bref, pas mal d'interrogations sur une éventuelle généralisation de la fonction de Dirac dans le plan complexe

Merci d'avance.
-----

[albanxiii]

Bonjour,

Si on considère l'isomorphisme canonique entre et : et connaissant la définition de sur , est-ce que ne convient pas ?

@+

[coussin]

Bah je sais pas... Ça pose pas des problèmes : considérons l'intégrale de delta(z) sur un contour qui entoure l'origine. Est-ce que ça a une valeur ?

[Armen92]

Salut

J'ai cherché un peu si la fonction Dirac d'un nombre complexe a un sens et je suis tombé sur des trucs bien compliqué finalement Y a apparemment pas de consensus si ça a du sens (corrigez-moi si je me trompe...)

Je suis plutôt intéressé si ça a un residu et si oui lequel. D'abord, est-ce que ça se comporte comme , je sais même pas ??

Bref, pas mal d'interrogations sur une éventuelle généralisation de la fonction de Dirac dans le plan complexe

Merci d'avance.

Tout (ou presque) est fait dans le tome I de Guelfand et Chilov (en particulier chapitre 2). est un objet parfaitement défini. En particulier, on a l'égalité :

montrant que est une fonctionnelle analytique ayant un pôle simple en avec un résidu égal à 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Tout simplement ?! OK, merci
J'avais commencé à lire des trucs comme ça ou autre sans jamais voir cette égalité.

[coussin]

Et en terme de limite de séries de fonctions, comment je retrouve ce résultat ?

[Armen92]

Et en terme de limite de séries de fonctions, comment je retrouve ce résultat ?

Je ne suis pas sûr de comprendre votre question. Quand on définit une distribution comme la limite d'une suite d'intégrales, il convient de préciser comment s'effectue l'intégration ; par exemple :

où les sont des précurseurs de Dirac.
Dans le cas de l'égalité que j'ai citée, une telle limite n'est pas nécessaire : une fois définie la notion de fonctionnelle analytique, cette égalité (entre fonctionnelles) résulte immédiatement de la formule de Cauchy.

[coussin]

Ma question était de connaître des exemples de précurseurs ...
J'ai un peu de mal à comprendre comment dans la cas réel, le Dirac n'est pas une fonction à proprement parler mais une distribution alors que soudainement dans la cas complexe, c'est tout bêtement 1/z ?!

[invite76543456789]

Bonjour,

Tout (ou presque) est fait dans le tome I de Guelfand et Chilov (en particulier chapitre 2). est un objet parfaitement défini. En particulier, on a l'égalité :

montrant que est une fonctionnelle analytique ayant un pôle simple en avec un résidu égal à 1.

Je comprends vraiment pas l'égalité (ou il doit manquer un \partial quelque part)... et elle me parait necessairement fausse si on prend [tex]\chi[tex] une fonction toujours positive valant 1 sur un voisnage de 0 et lisse.
Alors le calcul et ne donne pas la meme chose, meme à 2i\pi pres.
Ce qui est vrai c'est que le laplacien du log du module au carré de z donne effectivement bien le dirac en 0 par contre. Mais le dirac n'est pas une fonction localement intégrable (puisque qu'il est de support ponctuel par exemple... aucune distribution de support ponctuel n'est une fonction L1_loc pour des raisons evidentes).

[coussin]

Mathematica me dit que le Dirac d'un nombre complexe ne peut pas être uniquement défini. Ça me semble donc bel et bien plus complexe que ça

[invite76543456789]

Le dirac en un nombre complexe est parfaitement défini... tout comme le dirac quelconque, c'est juste l'evaluation en ce point.

[coussin]

Le dirac en un nombre complexe est parfaitement défini...

Quelle est cette definition ? (c'est un peu l'objet de ce fil )

[albanxiii]

Bonjour,

Je n'ai pas eu le temps de regarder, mais voici un document "Why the Dirac delta function cannot be applied to complex arguments." disponible sur https://sites.google.com/site/winitz...initzkis-files
(lien https://sites.google.com/site/winitz...edirects=0&d=1 il faut se rendre sur la page pour télécharger en fait... ).

@+

[Tryss]

La définition la plus simple d'un Dirac :

est* l'unique forme linéaire telle que



Avec cette définition, parler du Dirac d'une fonction continue à valeur complexe à bien un sens. Et cette forme linéaire est alors continue

(* : par contre, parler du Dirac d'une fonction défini presque partout n'a pas de sens, f(x0) n'étant pas défini)


Pour suite de fonctions approchant le Dirac au sens des distributions, on peut prendre plus simplement :




C'est à dire,

[0577]

Bonsoir,

il me semble qu'il y a une confusion entre deux sens possibles de l'expression "Dirac d'un nombre complexe".
Que signifie ?

Interprétation 1) (albanxii, MissPacMan, Tryss) : c'est une distribution qui à une fonction f définie sur
renvoie la valeur de f en 0, ou "une fonction qui intégrée sur contre f donne f(0)"
ou encore une masse 1 concentrée en l'origine de .
Dans cette interprétation, la structure particulière de ne joue pas de rôle : on peut dire qu'on travaille
sur et qu'on considère .

Interprétation 2) (Armen 92 et coussin (je crois)) : c'est une fonction holomorphe qui intégrée contre une fonction holomorphe f le long
d'un lacet entourant 0 donne f(0). Dans cette interprétation, la formule de Cauchy implique la formule donnée par Armen 92.

Source possible de la confusion : la signification de "f(z)". Interprétation 1) : f est une fonction définie sur .
Interprétation 2) : f est une fonction holomorphe (= analytique) et on note pour une fonction générale
définie sur . Avec cette interprétation, le delta de l'interprétation 1) du delta devrait s'écrire
(et c'est une notation assez employée).

[coussin]

Moi perso, j'ai pas d'interprétation (c'est pour ça que j'ai ouvert ce fil).
Et donc ? Parmi ces deux interprétations ci-dessus, laquelle est correcte ? (puisqu'il me semble qu'elles sont incompatibles entre elles...)

[coussin]

D'ailleurs j'en ai une troisième interprétation (après le lien du message #13) : on obtient f(z0) en integrant f(z)*delta(z-z0) le long de n'importe quel chemin qui contient z0 (on ferait ici le lien avec le cas réel).
Qu'est-ce qui est correct ?

[0577]

Bonjour,

ce que j'ai essaye d'expliquer dans mon message precedent, c'est que l'expression
"Dirac d'un nombre complexe" est ambigue et peut etre interpretee de deux (au moins)
manieres differentes. Ces interpretations ne sont pas incompatibles, elles definissent
des objets mathematiques differents.

Conclusion : l'expression "Dirac d'un nombre complexe" ne veut rien dire avant qu'on ait
donne une definition et il y a plusieurs definitions d'objets differents qu'on pourrait avoir envie
d'appeler de cette facon. Il n'y a pas de reponse unique si la question de depart est mal posee.

[coussin]

OK bah je reste sur ma faim alors…
Le but de ce fil était pour moi de définir correctement le delta d'un nombre complexe et on me répond qu'il y a plusieurs définitions et chacune définit une sorte de delta d'un nombre complexe Ça m'avance pas trop…

[gg0]

Bonjour Coussin.

Ta difficulté vient du fait que tu veux qu'un assemblage de mots (ici "Dirac d'un complexe") ait une signification unique. Cela n'arrive que dans des domaines précis, spécialisés, et encore : Quand il est possible de se mettre d'accord. Oui, mais, ce n'est pas ce qu'on fait en maths ? Non, pas partout. Le cas de 0⁰ ou les usages non systématiques des mots fonction et application le montrent. Sans parler de la notion de puissance d'un nombre qui fluctue suivant les circonstances, faute d'une définition générale.

Pour ton cas, il serait peut-être utile de chercher des documents sur les distributions et les complexes (Peut-on définir les distributions sur de façon que ce soit compatible avec les opérations qui le transforment en ? Je n'en sais rien). En tout cas, la question doit être délicate, Schwartz, dans ses mémoires, n'en parle pas (à moins que ce soit la notion de "courants", due à De Rham).

Cordialement.

[coussin]

Naïvement et faisant une analogie avec les réels, je m'attendais à trouver des propriétés comme :
- pour la norme et
- pour l'application à une fonction.

Bien sûr la difficulté ici est de définir ces intégrations : sont-ce sur tout le plan complexe, des parties du plan complexe, sur des contours, quels genre de contours, ces contours doivent-ils contenir ou bien l'éviter (il y a alors le cas spécifique au plan complexe, impossible dans le cas réel, où on intègre sur un contour qui ne contient pas . Pour les réels, pas le choix : l'axe réel contient obligatoirement On peut sans doute répondre à ça en disant que, dans le cas réel, si on intègre seulement sur une partie de l'axe réel ne contenant pas on obtient 0…)

Bref, tout ça quoi…

[gg0]

Malheureusement,

même pour le Dirac classique (réel), la formule est une erreur ! le Dirac n'est pas intégrable, ce n'est même pas une fonction ! La définition de la distribution de Dirac est simplement pour toute fonction test . D'où la définition donnée hier par Tryss.
Sauf que sur , on sait définir les fonctions test. Peut-on le faire pour les complexes ? En tout cas, il serait bon de voir un cours sur les distributions (mathématiquement fondé) et d'oublier les pseudo-calculs (très utilisés par les physiciens) d'intégrales sans définition.

Cordialement.

[Tryss]

Naïvement et faisant une analogie avec les réels, je m'attendais à trouver des propriétés comme :
- pour la norme et
- pour l'application à une fonction.

Sauf qu'il n'existe pas de fonction qui vérifie cela pour les réels

La valeur de la distribution f appliquée à la fonction u ne s'écrit pas toujours (voir rarement) sous forme d'une intégrale. Ce genre d'écriture est donc au mieux un vilain abus de notation de nos amis les physiciens (ou au pire n'a pas grand sens)

Sauf que sur R, on sait définir les fonctions test. Peut-on le faire pour les complexes ?

Oui, on peut, mais on va obtenir des espaces de distributions différents.

Par exemple, l'espace des fonctions test naturelles sur C me semble être les fonctions holomorphes. On a donc un espace de distributions H'.

On a entre autre immédiatement que H' contient E', les distributions à support compact de R² (par les équations de Cauchy-Riemann, H est inclu dans les fonctions C-infini de R²), par contre, c'est un espace différent de S' ou D' (qui sont des dual de fonctions qui tendent vers 0 en l'infini, ce qui n'est pas pas le cas des fonctions holomorphes).

Après à voir si cet espace présente un intérêt

[albanxiii]

Re,

Merci 0577 pour le récapitulatif de message #15.

Bien sûr la difficulté ici est de définir ces intégrations : sont-ce sur tout le plan complexe, des parties du plan complexe, sur des contours, quels genre de contours, ces contours doivent-ils contenir ou bien l'éviter (il y a alors le cas spécifique au plan complexe, impossible dans le cas réel, où on intègre sur un contour qui ne contient pas . Pour les réels, pas le choix : l'axe réel contient obligatoirement On peut sans doute répondre à ça en disant que, dans le cas réel, si on intègre seulement sur une partie de l'axe réel ne contenant pas on obtient 0…)

Vous, vous n'avez pas lu le document que j'ai indiqué à la page précédente.... https://docs.google.com/viewer?a=v&p...JkNWQ0MzM3NjA3

@+

[coussin]

Si mais je l'ai pas compris

[Tryss]

Re,

Merci 0577 pour le récapitulatif de message #15.


Vous, vous n'avez pas lu le document que j'ai indiqué à la page précédente.... https://docs.google.com/viewer?a=v&p...JkNWQ0MzM3NjA3

@+

Hum, moi quand je vois écris ça :



Alors que f est censée être une fonction à valeur complexe, j'ai mes warning qui s'allument (en orange clignotant).

Surtout qu'avant il dit "where the integration may proceed along some contours in the complex plane" => Ici il n'intègre absolument pas sur un contour, mais sur une droite.


Donc je me méfie fortement des résultats qu'il annonce, et en tout cas, si c'est vrai la rédaction est à revoir

[coussin]

Oui pareil : je sais pas si x est réel ou complexe dans ce document...

[coussin]

Bonjour Je profite de ce fil ouvert car j'ai une autre question sur les delta.

Cette fois-ci, je reste dans le domaine des réels. Ma question est comment savoir si une série de certaines fonctions tests tend vers delta ? Par exemple, on sait que . Je rencontre la serie suivante : .
Ça ressemble beaucoup, ça semble converger vers un dirac comme l'autre série mais comment démontrer ça rigoureusement ?

Merci d'avance

[Tryss]

Pour montrer qu'une suite de distributions converge (au sens des distributions) vers une distribution g, il faut montrer que pour toute fonction test , on a


Donc ici tu montres que, quelque soit la fonction C-infinie à support compact, tu as

[coussin]

D'accord, merci