Forme linéaire sur V*

[sb95]

Bonjour à tous !

Dans l'article de Wikipédia intitulé "Tenseur" (http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Tenseur), au paragraphe "Définition et exemples/Valence/(3ème astérisque)", il est écrit qu'une forme linéaire sur V* est un vecteur de V, où V est un K-espace vectoriel avec K un corps. Or, pour moi, une forme linéaire sur V* est une application linéaire de V* dans K et je ne vois pas comment on peut assimiler cet objet à un vecteur de V.

Quelques éclaircissements seraient bienvenus.

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonsoir.

(V*)* est isomorphe à V.
si x est dans V, l'application de V* dans K définie par f-->f(x) est une forme linéaire sur V*.

Cordialement.

NB: Sauf erreur de ma part, ce n'est vrai qu'en dimension finie.

[sb95]

D'accord. Une forme linéaire sur V* n'est donc pas à proprement parler un vecteur de V, mais on peut lui associer un unique vecteur de V. C'est bien ça ?

[gg0]

Dans de nombreux cas, la distinction n'est pas utile. Tu devrais étudier un cours sur la dualité (par exemple celui-ci : http://www.les-mathematiques.net/b/e/u/node1.php)

Bonne réflexion !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

D'accord. Une forme linéaire sur V* n'est donc pas à proprement parler un vecteur de V, mais on peut lui associer un unique vecteur de V. C'est bien ça ?

Oui, mais seulement dans certains cas. Typiquement, en dimension finie.

En dimension infinie, c'est vrai aussi pour le dual topologique des espaces de Hilbert (par le théorème de représentation de Riez-Frechet)

Pour les espaces quelconques, ça n'est plus vrai : l'exemple typique est celui des suites absolument sommable , dont le dual topologique est (isomorphe à) l'ensemble des suites bornées

Par contre je ne sais plus trop bien ce qui se passe pour le dual algébrique (il me semble que le dual algébrique devient de plus en plus gros)

NB: Sauf erreur de ma part, ce n'est vrai qu'en dimension finie.

En effet, en dimension infinie, tout les espaces ne sont pas isomorphes à leur dual (je dirai même qu'ils ne le sont que rarement)

[gg0]

Merci Tryss,

de rafraîchir ma mémoire défaillante.

[0577]

Bonjour,

petit complément : soit V un espace vectoriel de dimension infinie alors dim V*>dim V
où V* est le dual (algébrique) et où les dimensions sont des cardinaux.
En particulier, V n'est jamais isomorphe à son dual et non plus à son bidual.
Dans ce cas, l'application canonique V -> V** mentionnée par gg0 (l'évaluation)
n'est jamais bijective (en fait, elle n'est jamais surjective car toujours injective par Hahn-Banach).