Expression de polynôme

[Miss All Sunday]

Bonjour,

Je dois résoudre l'exercice suivant :


Pour P polynôme , montrer qu'il existe des réels tels que



Je suis partie de l'expression , puis j'ai fait un changement d'indice pour récupérer une somme entre -n et n, mais ça ne me donne pas grand chose...j'ai essayé le chemin inverse également, sans succès . Et du coup je dis un peu bloquée.


Merci d'avance pour votre aide !
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[bobdémaths]

Bonjour,

Tu as une famille de 2n+1 polynômes dans un espace vectoriel de dimension 2n+1. Si tu arrives à montrer qu'elle est libre, et en déduis qu'elle est également génératrice, CQFD.

Pour montrer qu'elle est libre, prends une combinaison linéaire, que tu suppose nulle. Tu évalues en 1 et en -1, et tu en déduis que deux coefficients sont nuls. Puis tu peux factoriser par (X-1)(X+1), et on recommence.