Bonjour,
Le but de ce fil est une introduction a qquns des concepts de probabilité elementaire. Dans un premier temps je poserai des definitions et preciserai des notions, qui sont les notions essentielles a la formulation (et a la preuve) du theoreme central limite, que j'enoncerai et prouverai dans un second temps. Je crée ce fil pour répondre aux interrogation d'un forumer, je vais m'efforcer de pas etre trop formelle, mais quand meme rigoureuse.
1/ La notion d'espace probabilisé
Au coeur de la notion de probabilité se trouve celle d'espace probabilisé. Qu'est que c'est qu'un espace probabilisé? C'est ce qui formalise la notion d'"ensemble des cas possibles". Je ne donnerai pas la "vraie" definition mathématiques, qui nous entrainerait trop loin, je vais en decrire une version simplifiée.
C'est un ensemble O, pour lequel on a affecté à chaque sous ensemble une valeur (sa probabilité) comprise entre 0 et 1, et qui verifie P(AuB)=P(A)+P(B) des que A et B sont disjoints, P(vide)=0 et P(O)=1 (et une autre condition technique que je n'ecrirai pas)
Par exemple O peut etre l'ensemble des cas possible du tirage de deux pieces de monnaie (faits l'un apres l'autre) O={pp,pf,fp,ff}, et on affecte a chaque element (singleton en fait) la probabilité 1/4, la probabilité de {pp,pf} est alors de 1/2 (suivant la regle imposée plus haut), c'est informellement la probabilité de faire pile au premier lancer. La probabilité de {pp,pf,fp} est de 3/4, c'est la probabilité de faire au moins un pile.
Autre exemple: L'ensemble O peut etre celui des reels compris entre 0 et 1, [0,1], de telle sorte a ce que P(E)=longueur de l'ensemble de E, P([1/2,1])=1/2, par exemple.
Encore un autre exemple, si f est par exemple la fonction 2x, on peut prendre encore l'ensemble [0,1], mais cette fois on change P, P(E) sera le "poids" de E pondéré par f, c'est à dire. Selon cette probabilité là,
2/ La notion de variable alétoire.
UNe fois qu'on s'est donné un espace probabilisé (O,P).
Une variable aléatoire c'est, simplement une application de O dans un ensemble quelconque (souvent numérique, R ou C, ou R^n). C'est, informellement, une association entre l'ensemble des cas possible, et un "resultat d'experience".
Par exemple si on reprend mon premier exemple, et que je decide de donner 1€ a green peace chaque fois que la piece tombe sur pile. On peut construire la variable alétoire "Nombre d'euros donnés a green peace", que je vais notér X.
On a X(pf)=1, X(pp)=2 etc...
Dans mon second et 3eme exemple je peux choisir par exemple X=1/(1+x), ainsi X(1)=1/2... Ceci peut representer par exemple si on a decidé de normer les poids d'une population sur [0,1] (en divisant par le plus haut poids), on peut decider de donner une fraction d'une quantité de nouriture donnée a chque personne en fonction de son poids.
Une personne de poids 1 recevra 1/2 de la ration, une personne de poids, 1/2 recevra 2/3 de la ration etc...
La probabilité P dans mon deuxieme et mon troisieme cas represente le fait que la distribution de la population en poids n'est pas la meme (dans un cas, on a une repartition equitable du poids entre les gens, dans l'autre il y a plus de maigres).
Ce qui nous amène a la notion de loi d'une variable aléatoire.
3/ Notion de loi d'une variable alétoire.
Qu'est ce que la loi d'une variable alétoire. On suppose qu'une variable aléatoire, X, sur (O,P) a été donnée. Alors la loi c'est simplement la liste (qui peut etre infinie) des probabilités de chaque ensemble de resultat de la variable alétoire (en terme technique c'est la mesure image).
Autrement dit pour chaque liste d'"outcomes" possibles de X, on donne que vaut la mesure du sous ensemble de O, qui realise ces outcomes.
Par exemple pour mon premier exemple, l'outcome X=1 se produit pour pf ou fp, et P({pf,fp})=1/2, l'outcome X=2 se produit pour {pp}, et P(pp)=1/4, et l'outcome X=0 se produit dans les autres cas, dont la probabilité est 1/4. La loi de X est cette association "resultat de sortie, probabilité du resultat de sortie"
Pour des var aléatoires definies sur un ensemble infinies, on procede en general indirectement. Tres souvent la probabilité de X=a dans ce genre de loi sera nulle. Ce qui nous interesse alors c'est plutot la probabilité que X soit dans une marche, par exemple P(a<X<b). ON associe donc pour chaque couple (a,b) (en vrai pour chaque sous ensemble de l'ensemble d'arrivée de la v.a. X), la probabilié P(a<X<b).
Par exemple si je reprend mon exemple plus haut. Quelle est la probabilité que X soit compris entre 1/2 et 1. On a vu que dans un cas c'etait 1/2, dans l'autre 1/4.
Si g est une fontion on dit que X suit la loi g, si pour tout couple a,b de l'espace d'arrivée de X,
On voit que la loi, defini un nouvel espace probabilisé, l'ensemble arrivé de X, muni de la nouvelle probabilité, donnée par P'(U)=P(X^{-1}(U).
Pour certaines fonctions g precises, plutot que de dire le nom de la fonction, on donne un nom historique a la loi, loi de gauss, loi normale, loi de cauchy, loi uniforme.
4/ Protocole experimental pour verifier qu'une variable alétoire suit telle ou telle loi.
En realité on ne peut bien sur pas le verifier, mais on peut quand meme approximer. Comment faire?
Une fois que note espace probabilisé, (O,P) de base est donné, et que X est aussi donné.
1- ON effectue plusieurs tirages de X.
2- On compte le nombre d'occurences de chaque resultats de tirage de X
3- On place sur un graphe, en abscisse l'espace d'arrivée de X (ce sera souvent la droite réelle), en ordonnée l'axe réel.
4- On place sur le graphe, un nuage de point correpondant en abscisse a la valeur du tirage de X, et en ordonnés la proportion de ce tirage parmi le nombre de tirage total. C'est a dire le nombre de fois ou le tirage a pris cette valeur divisé par le nombre de tirages total.
5- SI le nuage obtenu "épouse" le graphe d'une fonction f, c'est que X suit (a peu pres) la loi f.
Pour verifier qu'une variable alétoire suit la loi normale ou la loi uniforme, il faut donc faire de multiples tirages de X, compter le nombre de resultats obtenus. Pour chaque tirage obtenu, calculer la proportion, et placer cela sur un graphe, en ordonnée les proportions, en abscisses les resultats possibles pour X. Si le nuage de point obtenu ressemble a une gaussienne (courbe en "cloche"), c'est la loi normale, si c'est une droite horizontale, c'est la loi uniforme.
Enfin je precise que tout ceci sont des definitions, que l'on trouvera dans n'importe quel bouquin de proba, par exemple ici, et qu'il n'y a rien a contester. Simplement à comprendre.
Une fois que l'on se sera mis d'accord la dessus. On pourra sereinement parler du theoreme central limite.
PS: Je precise que je ne me suis pas relu, donc il est possible que le texte ce dessus contienne des fautes d'etourderie de frappe etc... Et je ne suis pas probabiliste non plus (mais je suis sure de ce que je dis) donc il est possible aussi qu'il y ait des fautes de maths, mais j'en doute. Désolé par avance si c'est le cas.
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Envoyé par MissPacMan 
